Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Considera los vectores \vec{u} = (2, 0, 1) y \vec{v} = (1, m, 2). a) [1,25 puntos] Calcula m para que el área del triángulo que definen \vec{u} y \vec{v} sea \dfrac{\sqrt{29}}{2}. b) [1,25 puntos] Para m = 0, halla los vectores que sean perpendiculares a \vec{u} y \vec{v}, y tengan módulo \sqrt{20}.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Vectores y ángulos

Andalucía · 2026 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Considera los vectores

\vec{u} = (2, 0, 1)

\vec{v} = (1, m, 2)

.

a) [1,25 puntos] Calcula

m

para que el área del triángulo que definen

\vec{u}

\vec{v}

sea

\dfrac{\sqrt{29}}{2}

.

b) [1,25 puntos] Para

m = 0

, halla los vectores que sean perpendiculares a

\vec{u}

\vec{v}

, y tengan módulo

\sqrt{20}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad m = 2 \ \text{ o } \ m = -2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{w} = \bigl(0,\ 2\sqrt{5},\ 0\bigr) \ \text{ y } \ \vec{w} = \bigl(0,\ -2\sqrt{5},\ 0\bigr)\;}

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Estrategia

Las dos preguntas giran en torno al producto vectorial

\vec{u}\times\vec{v}

Su módulo es el área del paralelogramo que definen $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ; el triángulo es la mitad. Igualando $\frac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}|$ al dato sale una ecuación de segundo grado en $m$ .
Su dirección es perpendicular a los dos vectores. Para $m = 0$ basta con calcularlo y reescalarlo al módulo pedido; hay dos soluciones, una en cada sentido.

Desarrollo

a) Producto vectorial.

\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & m & 2 \end{vmatrix} = (0\cdot 2 - 1\cdot m)\,\vec{i} - (2\cdot 2 - 1\cdot 1)\,\vec{j} + (2m - 0\cdot 1)\,\vec{k} = (-m,\ -3,\ 2m)

Su módulo:

|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{m^{2} + 9 + 4m^{2}} = \sqrt{5m^{2} + 9}

Área del triángulo.

\text{Área} = \frac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}| = \frac{\sqrt{5m^{2} + 9}}{2} = \frac{\sqrt{29}}{2}

5m^{2} + 9 = 29 \;\Longrightarrow\; m^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; m = 2 \ \text{ o } \ m = -2

Comprobación: con

m = \pm 2

\vec{u}\times\vec{v} = (\mp 2, -3, \pm 4)

, de módulo

\sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}

, y el área es

\frac{\sqrt{29}}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Vectores perpendiculares a $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con $m = 0$ . Ahora

\vec{v} = (1, 0, 2)

y, sustituyendo en lo anterior,

\vec{u}\times\vec{v} = (0,\ -3,\ 0)

Todo vector perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

(que no son paralelos) es proporcional a este, es decir, de la forma

\vec{w} = (0, \lambda, 0)

. (También se ve directamente: con $\vec{w} = (x, y, z)$ , $\vec{w}\cdot\vec{u} = 2x + z = 0$ y $\vec{w}\cdot\vec{v} = x + 2z = 0$ obligan a $x = z = 0$ , con $y$ libre.)

Imponemos el módulo:

|\vec{w}| = |\lambda| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm 2\sqrt{5}

\vec{w}_{1} = \bigl(0,\ 2\sqrt{5},\ 0\bigr), \qquad \vec{w}_{2} = \bigl(0,\ -2\sqrt{5},\ 0\bigr)

Tiene sentido:

\vec{u}

\vec{v}

tienen la segunda coordenada nula, así que están en el plano

XZ

y lo perpendicular a ambos es el eje

Y

Consejo

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial; el módulo entero es el área del paralelogramo. Olvidar el $\frac{1}{2}$ es el fallo más común.

En a) la ecuación $m^{2} = 4$ tiene dos soluciones y en b) hay dos vectores (uno en cada sentido): dar solo uno deja la respuesta incompleta.