Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2026 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Considera el plano

\pi \equiv 4x + 5y - 20z + 20 = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices están determinados por la intersección de

\pi

con los ejes coordenados.

b) [1,25 puntos] Halla los planos paralelos a

\pi

que distan

2

unidades del punto

P(2,2,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } A(-5,0,0),\ B(0,-4,0),\ C(0,0,1); \quad \text{Área} = \tfrac{21}{2} = 10{,}5 \text{ u}^2\;}

\boxed{\;\text{b) } 4x + 5y - 20z + 44 = 0 \quad \text{y} \quad 4x + 5y - 20z - 40 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) los vértices son los puntos de corte de

\pi

con los ejes: en el eje

OX

son nulas

y

z

, y así con los otros dos. Con los tres vértices

A

B

C

, el área es la mitad del módulo del producto vectorial

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

.

En b) todos los planos paralelos a

\pi

tienen el mismo vector normal

(4, 5, -20)

y solo cambian en el término independiente:

4x + 5y - 20z + D = 0

. Imponer que la distancia de

P

a ese plano sea

2

da una ecuación con valor absoluto, que tiene dos soluciones: un plano a cada lado de

P

Desarrollo

a) Área del triángulo.

Vértices (cortes con los ejes):

Eje $OX$ ( $y = z = 0$ ): $4x + 20 = 0 \Rightarrow x = -5$ , así que $A(-5, 0, 0)$ .
Eje $OY$ ( $x = z = 0$ ): $5y + 20 = 0 \Rightarrow y = -4$ , así que $B(0, -4, 0)$ .
Eje $OZ$ ( $x = y = 0$ ): $-20z + 20 = 0 \Rightarrow z = 1$ , así que $C(0, 0, 1)$ .

Vectores de dos lados:

\overrightarrow{AB} = (5, -4, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (5, 0, 1)

Producto vectorial:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -4 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \end{array}\right| = (-4 - 0)\,\vec{i} - (5 - 0)\,\vec{j} + (0 + 20)\,\vec{k} = (-4, -5, 20)

(Es, como debe ser, proporcional al vector normal de

\pi

(4, 5, -20)

\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{16 + 25 + 400} = \sqrt{441} = 21

Área:

\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{21}{2} = 10{,}5 \text{ u}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Planos paralelos a $\pi$ a distancia $2$ de $P(2,2,1)$ .

Un plano paralelo a

\pi

tiene la forma

\pi' \equiv 4x + 5y - 20z + D = 0

con el mismo vector normal

\vec{n} = (4, 5, -20)

, de módulo

|\vec{n}| = \sqrt{16 + 25 + 400} = 21

.

Distancia de $P$ a $\pi'$ :

d(P, \pi') = \frac{|4\cdot 2 + 5\cdot 2 - 20\cdot 1 + D|}{21} = \frac{|D - 2|}{21}

Imponemos que valga

2

\frac{|D - 2|}{21} = 2 \;\Longrightarrow\; |D - 2| = 42 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} D - 2 = 42 \;\Rightarrow\; D = 44 \\ D - 2 = -42 \;\Rightarrow\; D = -40 \end{cases}

Hay dos planos:

\pi_1 \equiv 4x + 5y - 20z + 44 = 0 \qquad\qquad \pi_2 \equiv 4x + 5y - 20z - 40 = 0

Comprobación.

d(P, \pi_1) = \dfrac{|8 + 10 - 20 + 44|}{21} = \dfrac{42}{21} = 2

✓ y

d(P, \pi_2) = \dfrac{|8 + 10 - 20 - 40|}{21} = \dfrac{42}{21} = 2

✓. Ninguno de los dos es

\pi

(

D = 20

), que dista

\frac{18}{21} = \frac{6}{7}

P

.

En la simulación, el plano dibujado es el paralelo a

\pi

que pasa por

P

4x + 5y - 20z + 2 = 0

, y los dos planos a distancia

2

de él son justo los que buscamos.

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Consejo

En a) los cortes con los ejes valen ya 0,5 puntos: cuidado con los signos al despejar ( $4x + 20 = 0$ da $x = -5$ , no $5$ ). El área es la mitad del módulo del producto vectorial; sin el $\frac{1}{2}$ calculas el paralelogramo.

En b) el valor absoluto da dos planos, uno a cada lado de $P$ : quedarse con uno solo deja el apartado a medias. Y no confundas «distan 2 de $P$ » con «distan 2 de $\pi$ ».