Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2026 · Junio

Enunciado

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos

A(1,2,0)

B(2,m,1)

C(3,4,2)

D(1,-1,m)

.

a) [1 punto] Halla los valores de

m

para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.

b) [1,5 puntos] Para

m = 1

, calcula el área del triángulo de vértices

A, B, C

y el volumen del tetraedro de vértices

A, B, C, D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Coplanarios si } m = 0 \text{ o } m = 3\;}

\boxed{\;\text{b) Área}(ABC) = 2\sqrt{2}\ \text{u}^2, \qquad V(ABCD) = \frac{2}{3}\ \text{u}^3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de los tres vectores que parten de

A

\vec{AB}

\vec{AC}

\vec{AD}

.

En a) cuatro puntos son coplanarios cuando esos tres vectores están en un mismo plano, es decir, son linealmente dependientes: su producto mixto (el determinante que forman) vale cero. Sale una ecuación de segundo grado en

m

.

En b) se usan las dos fórmulas clásicas: el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial

\vec{AB}\times\vec{AC}

, y el volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto

[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]

Desarrollo

Vectores desde $A(1,2,0)$ :

\vec{AB} = (1,\ m-2,\ 1), \qquad \vec{AC} = (2,\ 2,\ 2), \qquad \vec{AD} = (0,\ -3,\ m)

a) Los puntos son coplanarios si y solo si

[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}] = 0

. Desarrollando por la primera fila:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & m-2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & m \end{array}\right| = 1\cdot(2m + 6) - (m-2)\cdot(2m - 0) + 1\cdot(-6 - 0)

= 2m + 6 - 2m^2 + 4m - 6 = -2m^2 + 6m = -2m\,(m - 3)

Igualando a cero:

-2m\,(m-3) = 0 \;\Longrightarrow\; m = 0 \quad\text{o}\quad m = 3

Comprobación con $m = 3$ :

\vec{AB} = (1,1,1)

\vec{AC} = (2,2,2) = 2\,\vec{AB}

; de hecho

A

B

C

están alineados, así que con cualquier

D

los cuatro puntos están en un plano. Con

m = 0

\vec{AB} = (1,-2,1)

\vec{AD} = (0,-3,0)

, y se ve la dependencia:

\vec{AD} = \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = (1-1,\ -2-1,\ 1-1)

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con

m = 1

\vec{AB} = (1,\ -1,\ 1), \qquad \vec{AC} = (2,\ 2,\ 2), \qquad \vec{AD} = (0,\ -3,\ 1)

Área del triángulo $ABC$ . Producto vectorial:

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right| = (-2-2)\,\vec{i} - (2-2)\,\vec{j} + (2+2)\,\vec{k} = (-4,\ 0,\ 4)

\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right| = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right| = 2\sqrt{2}\ \text{u}^2 \approx 2{,}83\ \text{u}^2

Volumen del tetraedro $ABCD$ . El producto mixto es el determinante del apartado a) con

m = 1

[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}] = -2\cdot 1^2 + 6\cdot 1 = 4

(o bien

(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD} = (-4,0,4)\cdot(0,-3,1) = 0 + 0 + 4 = 4

, que coincide).

V = \frac{1}{6}\,\bigl|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]\bigr| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\ \text{u}^3

Consejo

En a) no basta con "el determinante vale cero": hay que decir qué determinante y por qué (los vectores $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ son linealmente dependientes, están en un plano). Esa justificación es el medio punto del planteamiento.

En b) no te olvides del $\frac{1}{2}$ del área ni del $\frac{1}{6}$ del volumen: el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo y el producto mixto, el volumen del paralelepípedo. Y el volumen lleva valor absoluto: si te sale negativo, no es un error.