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Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

Comunitat Valenciana · 2026 · Junio
Enunciado
Dada la recta r:x2=y+1−1=z−11r: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-1}{1} y el plano π:2x+my+z−3=0\pi: 2x + my + z - 3 = 0, se pide:

a) El valor de mm para el que π\pi y rr son perpendiculares. (0.5 puntos)

b) El valor de mm para el que π\pi y rr son paralelos. (0.75 puntos)

c) Calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre π\pi y rr en función del parámetro real mm. (1.25 puntos)
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Resultado
a) m=−1b) m=5\boxed{\text{a) } m = -1}\qquad \boxed{\text{b) } m = 5}c) Si m≠5: r∩π=(2m+45−m, −75−m, 75−m); si m=5 no se cortan\boxed{\text{c) Si } m\ne 5:\ r\cap\pi = \left(\frac{2m+4}{5-m},\ \frac{-7}{5-m},\ \frac{7}{5-m}\right);\ \text{si } m = 5 \text{ no se cortan}}
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Estrategia

Todo se decide comparando dos vectores: el director de la recta, d⃗r\vec d_r, y el normal del plano, n⃗π\vec n_\pi.
  • Recta perpendicular al plano: la recta va en la dirección del normal, así que d⃗r\vec d_r y n⃗π\vec n_\pi son proporcionales.
  • Recta paralela al plano: la recta es perpendicular al normal, d⃗r⋅n⃗π=0\vec d_r\cdot\vec n_\pi = 0, y además un punto de la recta no está en el plano (si lo estuviera, la recta estaría contenida).
  • Para la intersección, se sustituye la paramétrica de rr en la ecuación de π\pi y se despeja el parámetro, que dependerá de mm.
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Desarrollo

Datos de la recta y del plano. De la continua de rr:Pr=(0,−1,1),d⃗r=(2,−1,1),n⃗π=(2,m,1)P_r = (0, -1, 1),\qquad \vec d_r = (2, -1, 1),\qquad \vec n_\pi = (2, m, 1)a) Perpendiculares. d⃗r∥n⃗π\vec d_r \parallel \vec n_\pi:22=m−1=11  ⟹  m−1=1  ⟹  m=−1\frac{2}{2} = \frac{m}{-1} = \frac{1}{1} \;\Longrightarrow\; \frac{m}{-1} = 1 \;\Longrightarrow\; m = -1Con m=−1m = -1 el normal es (2,−1,1)=d⃗r(2, -1, 1) = \vec d_r ✓.

b) Paralelos. El director es perpendicular al normal:d⃗r⋅n⃗π=2⋅2+(−1) m+1⋅1=5−m=0  ⟹  m=5\vec d_r\cdot\vec n_\pi = 2\cdot 2 + (-1)\,m + 1\cdot 1 = 5 - m = 0 \;\Longrightarrow\; m = 5¿Paralela o contenida? Con m=5m = 5, el punto Pr=(0,−1,1)P_r = (0, -1, 1) en el plano: 2⋅0+5⋅(−1)+1−3=−7≠02\cdot 0 + 5\cdot(-1) + 1 - 3 = -7 \ne 0. PrP_r no está en π\pi, así que la recta no está contenida: para m=5m = 5, rr y π\pi son paralelos.

c) Paramétricas de rr.r:{x=2ty=−1−tz=1+tr: \begin{cases} x = 2t \\ y = -1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}Sustitución en π\pi.2(2t)+m(−1−t)+(1+t)−3=0  ⟹  4t−m−mt+t−2=0  ⟹  (5−m) t=m+22(2t) + m(-1 - t) + (1 + t) - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 4t - m - mt + t - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (5 - m)\,t = m + 2Cuándo hay intersección. Si m=5m = 5 queda 0=70 = 7: no hay solución (son paralelos, como en b). Si m≠5m \ne 5:t=m+25−mt = \frac{m + 2}{5 - m}El punto.x=2(m+2)5−m=2m+45−m,y=−1−m+25−m=−(5−m)−(m+2)5−m=−75−m,x = \frac{2(m+2)}{5-m} = \frac{2m + 4}{5 - m},\qquad y = -1 - \frac{m+2}{5-m} = \frac{-(5 - m) - (m + 2)}{5 - m} = \frac{-7}{5 - m},z=1+m+25−m=(5−m)+(m+2)5−m=75−mz = 1 + \frac{m+2}{5-m} = \frac{(5 - m) + (m + 2)}{5 - m} = \frac{7}{5 - m}Comprobación. Con m=0m = 0: el punto es (45,−75,75)\left(\tfrac{4}{5}, -\tfrac{7}{5}, \tfrac{7}{5}\right); en π\pi: 85+0+75−3=0\tfrac{8}{5} + 0 + \tfrac{7}{5} - 3 = 0 ✓.
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Consejo

No confundas las dos condiciones: recta perpendicular al plano ⟺ director y normal proporcionales; recta paralela al plano ⟺ director y normal perpendiculares (producto escalar nulo). Es el error más frecuente en este tipo de pregunta.

En b) comprueba siempre que un punto de la recta no está en el plano: si lo estuviera, la recta estaría contenida, no sería paralela.
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