Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

a) Transpuesta.$$A^t = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$Producto.$$A\,A^t = \begin{pmatrix} \cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha & -\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \\ -\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\operatorname{sen}\alpha & \operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$El otro orden. Igual:$$A^t A = \begin{pmatrix} \cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha & \cos\alpha\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha - \cos\alpha\operatorname{sen}\alpha & \operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha \end{pmatrix} = I$$Conclusión. $A^t$ cumple la definición de inversa de $A$, así que $A^{-1} = A^t$ para todo $\alpha$: $A$ es ortogonal. (Además $|A| = \cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha = 1 \ne 0$, así que $A$ siempre tiene inversa.)

b) Producto por la transpuesta.$$B^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B\,B^t = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix}, \qquad B^t B = \begin{pmatrix} b^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix}$$Condiciones. Las dos son la identidad si y solo si$$a^2 = 1 \quad\text{y}\quad b^2 = 1 \iff a = \pm 1,\ b = \pm 1$$Cuántas. Dos posibilidades para $a$ y dos para $b$: hay $2\cdot 2 = 4$ matrices ortogonales de esta forma.

c) Despejar. Restamos la matriz de la izquierda:$$BX = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$Multiplicar por la inversa. $B$ es ortogonal, así que $B^{-1} = B^t$. Multiplicando por $B^t$ por la izquierda ($B^tB = I$):$$X = B^t\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -b \\ 0 & 1 \\ a & a \end{pmatrix}$$$X$ es de tamaño $3\times 2$, como debe ser para que $BX$ se pueda sumar con una $3\times 2$.

Comprobación.$$BX = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -b \\ 0 & 1 \\ a & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a^2 \\ 0 & 1 \\ 0 & -b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\ ✓$$Las cuatro soluciones. Según el signo de $a$ y $b$ ($a, b = \pm 1$), por ejemplo con $a = b = 1$: $X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.