Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

a) El sistema.$$\begin{cases} 2x + my = 4 \\ mx + 2y = 4 \\ z = -2 \end{cases}$$Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la tercera fila:$$|T| = 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & m \\ m & 2 \end{vmatrix} = 4 - m^2 = 0 \iff m = 2 \ \text{o}\ m = -2$$Si $m \ne 2$ y $m \ne -2$. $|T| \ne 0$, así que $\text{rg}(T) = \text{rg}(T\mid u) = 3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Si $m = 2$.$$(T\mid u) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)$$Las dos primeras filas son iguales, y la primera y la tercera son independientes: $\text{rg}(T) = \text{rg}(T\mid u) = 2 < 3$. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).

Si $m = -2$.$$(T\mid u) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 0 & 4 \\ -2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)$$$\text{rg}(T) = 2$ (las dos primeras columnas son proporcionales y el menor $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 2 \ne 0$). En la ampliada, el menor de las columnas 2.ª, 3.ª y 4.ª:$$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -1\cdot(-8 - 8) = 16 \ne 0$$Así que $\text{rg}(T\mid u) = 3 \ne \text{rg}(T)$: sistema incompatible. Se ve también a simple vista: sumando las dos primeras ecuaciones queda $0 = 8$.

b) Con $m = -1$. El sistema es compatible determinado:$$\begin{cases} 2x - y = 4 \\ -x + 2y = 4 \\ z = -2 \end{cases}$$Resolución. De la primera, $y = 2x - 4$; en la segunda: $-x + 4x - 8 = 4 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$, y entonces $y = 4$. La tercera da $z = -2$.

Comprobación. $2\cdot 4 - 4 = 4$ ✓; $-4 + 2\cdot 4 = 4$ ✓.$$v = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$$(Coincide con $u$: para $m = -1$, el vector $u$ no cambia al aplicarle $T$.)

c) El determinante con $m = 2$.$$T - \alpha I = \begin{pmatrix} 2-\alpha & 2 & 0 \\ 2 & 2-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}$$$$\det(T - \alpha I) = (1-\alpha)\left[(2-\alpha)^2 - 4\right] = (1-\alpha)(\alpha^2 - 4\alpha) = (1-\alpha)\,\alpha\,(\alpha - 4)$$Raíces. $(1-\alpha)\,\alpha\,(\alpha-4) = 0 \iff \alpha = 0,\ \alpha = 1$ o $\alpha = 4$.

Comprobación. $\alpha = 0$ es tensión principal porque $|T| = 4 - 2^2 = 0$ para $m = 2$, como vimos en a) ✓.