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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

Enunciado

En un país se ha detectado una enfermedad

X

transmitida por el virus VirusX. Se sabe que la enfermedad la padece el 20% de la población. Para detectarla, se usa un test de antígenos que, entre personas enfermas da positivo en el 90% de los casos y entre personas sanas da positivo en el 5% de los casos. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que, al realizar el test a una persona del país al azar, dicho test dé positivo. (0.75 puntos)

b) Calcular la probabilidad de que una persona esté sana sabiendo que ha dado positivo en el test. (0.75 puntos)

c) Si tomamos 8 personas de la población al azar, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo dos de ellas tengan la enfermedad? (1 punto)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } P(+) = 0{,}22}

\boxed{\text{b) } P(S\mid +) = \tfrac{2}{11} \approx 0{,}1818}

\boxed{\text{c) } Y\sim B(8;\ 0{,}2):\ P(Y\le 2) \approx 0{,}7969}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el clásico test diagnóstico. Una persona puede estar enferma (

E

) o sana (

S

), y el test le da positivo (

+

) con una probabilidad que depende de cuál de las dos cosas sea. Con un diagrama de árbol de dos niveles:

en a) sumamos las dos ramas que acaban en positivo (probabilidad total);
en b) le damos la vuelta a la condición: sabemos que salió positivo y preguntamos si está sana (Bayes);
en c) cambia el experimento: ocho personas independientes, cada una enferma con probabilidad $0{,}2$ . Contar enfermos es una binomial $B(8;\ 0{,}2)$ .

Desarrollo

a) Datos del árbol.

P(E) = 0{,}2,\quad P(S) = 0{,}8,\qquad P(+\mid E) = 0{,}9,\quad P(+\mid S) = 0{,}05

Probabilidad total. Se llega a un positivo por la rama de los enfermos o por la de los sanos:

P(+) = P(E)\,P(+\mid E) + P(S)\,P(+\mid S) = 0{,}2\cdot 0{,}9 + 0{,}8\cdot 0{,}05 = 0{,}18 + 0{,}04 = 0{,}22

b) Teorema de Bayes. De todos los positivos, ¿qué parte viene de la rama de los sanos?

P(S\mid +) = \frac{P(S)\,P(+\mid S)}{P(+)} = \frac{0{,}04}{0{,}22} = \frac{2}{11} \approx 0{,}1818

Casi uno de cada cinco positivos es un falso positivo, aunque el test solo falla en el 5% de los sanos: hay muchos más sanos que enfermos.

c) La variable. Sea

Y

= número de personas enfermas entre las 8. Cada persona está enferma con probabilidad

p = 0{,}2

, independientemente de las demás, y contamos «éxitos» en 8 pruebas:

Y \sim B(n = 8;\ p = 0{,}2)

Probabilidad pedida. «Como máximo dos» es

Y \le 2

P(Y \le 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)

P(Y=0) = \binom{8}{0}0{,}8^8 = 0{,}1678

P(Y=1) = \binom{8}{1}0{,}2\cdot 0{,}8^7 = 8\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2097 = 0{,}3355

P(Y=2) = \binom{8}{2}0{,}2^2\cdot 0{,}8^6 = 28\cdot 0{,}04\cdot 0{,}2621 = 0{,}2936

P(Y \le 2) = 0{,}1678 + 0{,}3355 + 0{,}2936 = 0{,}7969

Con la tabla. La tabla del examen da directamente

F(2) = P(Y\le 2)

para

n = 8

p = 0{,}20

0{,}7969

✓.

Consejo

Define siempre los sucesos y la variable con palabras (« $Y$ = número de enfermos entre 8») y di qué distribución sigue y por qué: el corrector lo puntúa aparte del número.

En b) no confundas $P(S\mid +)$ con $P(+\mid S) = 0{,}05$ : el dato del enunciado va en el numerador, pero dividido entre $P(+)$ . Y en c), «como máximo dos» incluye el 0: es $P(Y\le 2)$ , el valor que da la tabla tal cual.