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OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

Comunitat Valenciana · 2026 · Julio (solapamiento)
Enunciado
Se considera un triángulo rectángulo TT cuyos catetos se cortan en el origen de coordenadas del plano; el cateto horizontal mide 4 unidades y el vertical 3. Consideramos un rectángulo RR inscrito en el triángulo TT de modo que dos lados del rectángulo RR están situados sobre los catetos de TT y uno de sus vértices está en la hipotenusa de TT. Denotamos por xx la longitud del lado de RR que está sobre el cateto mayor y por yy la longitud del lado de RR que está sobre el cateto menor. Se pide:

a) Calcular la ecuación de la recta que contiene a la hipotenusa del triángulo TT. (1 punto)

b) Calcular los valores de xx e yy que hacen que el área de RR sea máxima y calcular dicha área. (1,5 puntos)
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Resultado
a) y=−34 x+3y = -\dfrac{3}{4}\,x + 3 (o 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0).

b) El área es máxima con x=2x = 2 e y=32y = \dfrac{3}{2}, y vale 33 unidades cuadradas.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Primero conviene dibujar la situación con coordenadas. Los catetos van sobre los ejes: el horizontal, de (0,0)(0, 0) a (4,0)(4, 0), y el vertical, de (0,0)(0, 0) a (0,3)(0, 3). La hipotenusa une (4,0)(4, 0) con (0,3)(0, 3).

El rectángulo tiene una esquina en el origen y la opuesta, (x,y)(x, y), sobre la hipotenusa. Eso es justo la relación entre las variables: el punto (x,y)(x, y) cumple la ecuación de la recta de a). Con ella escribimos el área, x⋅yx\cdot y, en función de xx sola, y la maximizamos con la derivada.
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Desarrollo

a) Dos puntos de la hipotenusa. (4,0)(4, 0) y (0,3)(0, 3), los extremos de los catetos.

Pendiente y ordenada en el origen.m=3−00−4=−34,n=3 (corta al eje Y en (0,3))m = \frac{3 - 0}{0 - 4} = -\frac{3}{4}, \qquad n = 3 \ \text{(corta al eje } Y \text{ en } (0, 3))y=−34 x+3y = -\frac{3}{4}\,x + 3o, en forma segmentaria, x4+y3=1\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1 (equivalente a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0).

b) Relación entre las variables. El rectángulo RR tiene vértices (0,0)(0, 0), (x,0)(x, 0), (x,y)(x, y) y (0,y)(0, y), y el vértice (x,y)(x, y) está en la hipotenusa:y=3−34 xy = 3 - \frac{3}{4}\,xFunción que hay que maximizar.A(x)=x y=x(3−34 x)=3x−34 x2,0<x<4A(x) = x\,y = x\left(3 - \frac{3}{4}\,x\right) = 3x - \frac{3}{4}\,x^2, \qquad 0 < x < 4(Con x=0x = 0 o x=4x = 4 el rectángulo se aplasta y el área es 0.)

Derivada.A′(x)=3−32 x=0  ⟺  x=2A'(x) = 3 - \frac{3}{2}\,x = 0 \iff x = 2Es un máximo. A′′(x)=−32<0A''(x) = -\dfrac{3}{2} < 0. Además AA es una parábola hacia abajo en (0,4)(0, 4), así que el máximo relativo es el absoluto.

Valores pedidos.x=2,y=3−34⋅2=32,A(2)=2⋅32=3 u2x = 2, \qquad y = 3 - \frac{3}{4}\cdot 2 = \frac{3}{2}, \qquad A(2) = 2\cdot\frac{3}{2} = 3 \ \text{u}^2Comprobación. El rectángulo óptimo tiene la mitad de cada cateto (22 de 44 y 32\tfrac{3}{2} de 33) y su área es la mitad de la del triángulo, 4⋅32=6\tfrac{4\cdot 3}{2} = 6 ✓.
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Consejo

Sitúa el triángulo en unos ejes y escribe la relación entre xx e yy antes de derivar: sin ella el área tiene dos variables y no se puede maximizar.

Justifica que es un máximo (A′′<0A'' < 0) y responde a todo lo que se pide: los dos lados y el área. Olvidar yy o el área es la pérdida de puntos más típica en optimización.
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