Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

También trata: Vectores y ángulos · Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Dados el plano

\pi: -2x + y + 2z + 1 = 0

y el punto

P(1, -2, 0)

, se pide:

a) Calcular la distancia del punto

P

al plano

\pi

. (0,5 puntos)

b) Escribir una ecuación de la recta perpendicular a

\pi

que pasa por el punto

P

. (1 punto)

c) Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano

\pi

con los tres ejes coordenados. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

d(P, \pi) = 1

u.

b)

x = 1 - 2t

y = -2 + t

z = 2t

(dirección

(-2, 1, 2)

, la del normal).

c) Vértices

A\left(\tfrac{1}{2}, 0, 0\right)

B(0, -1, 0)

C\left(0, 0, -\tfrac{1}{2}\right)

\cos \hat A = \cos \hat C = \tfrac{1}{\sqrt{10}}

\hat A = \hat C \approx 71{,}57^\circ

;

\cos \hat B = \tfrac{4}{5}

\hat B \approx 36{,}87^\circ

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos primeros apartados salen del vector normal del plano, que se lee en los coeficientes:

\vec n = (-2, 1, 2)

En a) se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
En b), una recta perpendicular a $\pi$ lleva la dirección del normal: punto $P$ y vector $\vec n$ .

En c) primero hay que encontrar los tres vértices: el plano corta al eje

X

donde

y = z = 0

, y lo mismo con los otros dos. Después, el ángulo de cada vértice es el ángulo entre los dos vectores que salen de él hacia los otros dos vértices, que se calcula con el producto escalar.

Desarrollo

a) Distancia de un punto a un plano.

d(P, \pi) = \frac{|-2\cdot 1 + (-2) + 2\cdot 0 + 1|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt 9} = \frac{3}{3} = 1 \ \text{u}

b) Vector director. La recta es perpendicular a

\pi

, así que su dirección es la del normal:

\vec v = \vec n = (-2, 1, 2)

.

Ecuaciones. Con el punto

P(1, -2, 0)

, en paramétricas:

s \equiv \begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

o en forma continua,

\dfrac{x - 1}{-2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z}{2}

.

c) Vértices: cortes con los ejes.

Eje $X$ ( $y = z = 0$ ): $-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{2}$ , punto $A\left(\tfrac{1}{2}, 0, 0\right)$ .
Eje $Y$ ( $x = z = 0$ ): $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$ , punto $B(0, -1, 0)$ .
Eje $Z$ ( $x = y = 0$ ): $2z + 1 = 0 \Rightarrow z = -\tfrac{1}{2}$ , punto $C\left(0, 0, -\tfrac{1}{2}\right)$ .

Ángulo en $A$ . Los vectores que salen de

A

son

\overrightarrow{AB} = \left(-\tfrac{1}{2}, -1, 0\right)

\overrightarrow{AC} = \left(-\tfrac{1}{2}, 0, -\tfrac{1}{2}\right)

. Multiplicarlos por 2 no cambia el ángulo, así que usamos

(-1, -2, 0)

(-1, 0, -1)

\cos \hat A = \frac{(-1)(-1) + (-2)\cdot 0 + 0\cdot(-1)}{\sqrt 5\,\sqrt 2} = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad\Rightarrow\quad \hat A \approx 71{,}57^\circ

Ángulo en $B$ . Con

2\overrightarrow{BA} = (1, 2, 0)

2\overrightarrow{BC} = (0, 2, -1)

\cos \hat B = \frac{0 + 4 + 0}{\sqrt 5\,\sqrt 5} = \frac{4}{5} \quad\Rightarrow\quad \hat B \approx 36{,}87^\circ

Ángulo en $C$ . Con

2\overrightarrow{CA} = (1, 0, 1)

2\overrightarrow{CB} = (0, -2, 1)

\cos \hat C = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt 2\,\sqrt 5} = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad\Rightarrow\quad \hat C \approx 71{,}57^\circ

Comprobación. El triángulo es isósceles:

|AB| = |BC| = \tfrac{\sqrt 5}{2}

, y por eso

\hat A = \hat C

. Los tres ángulos suman

71{,}57^\circ + 36{,}87^\circ + 71{,}57^\circ \approx 180^\circ \ ✓

En radianes,

\hat A = \hat C \approx 1{,}2490

rad y

\hat B \approx 0{,}6435

rad.

Consejo

En la distancia, no olvides el valor absoluto del numerador ni el término independiente del plano: $|-2 - 2 + 0 + 1| = 3$ .

Para el ángulo de un vértice, los dos vectores tienen que salir de ese vértice ( $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BC}$ ). Si tomas uno al revés, sale el suplementario. Y termina sumando los tres ángulos: si no dan $180^\circ$ , hay un error.