Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

a) Vector normal.$$\overrightarrow{AB} = (3 - 1,\ 4 - (-2),\ 3 - 1) = (2, 6, 2) \parallel (1, 3, 1)$$Tomamos $\vec n_1 = (1, 3, 1)$, así que $\pi_1 \equiv x + 3y + z + D = 0$.

Punto medio de $AB$.$$M = \left(\frac{1 + 3}{2},\ \frac{-2 + 4}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = (2, 1, 2)$$Término independiente. $M \in \pi_1$: $2 + 3 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = -7$.$$\pi_1 \equiv x + 3y + z - 7 = 0$$Comprobación (los puntos del plano equidistan de $A$ y $B$). Con $P(x, y, z)$:$$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-3)^2 \iff 4x + 12y + 4z - 28 = 0$$que, dividiendo entre 4, es el mismo plano ✓.

b) Elementos de $r$. De la forma continua, un punto y el vector director:$$P_r = (0, 2, 1), \qquad \vec v_r = (2, -1, 1)$$El punto está en el plano. $0 + 3\cdot 2 + 1 - 7 = 0$ ✓.

El director es perpendicular al normal.$$\vec v_r \cdot \vec n_1 = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 3 + 1\cdot 1 = 2 - 3 + 1 = 0$$Como $r$ es paralela a $\pi_1$ y tiene un punto en él, $r$ está contenida en $\pi_1$.

c) Qué plano buscamos. Si $\pi_1 \cap \pi_2 = r$, entonces $r \subset \pi_2$. Además $A \notin \pi_1$ ($1 - 6 + 1 - 7 = -11 \neq 0$), así que $A$ no está en $r$ y el plano que contiene a $r$ y a $A$ es único y distinto de $\pi_1$: su corte con $\pi_1$ es justo $r$.

Dos vectores del plano. El director de $r$ y el que va de $P_r$ a $A$:$$\vec v_r = (2, -1, 1), \qquad \overrightarrow{P_rA} = (1 - 0,\ -2 - 2,\ 1 - 1) = (1, -4, 0)$$Vector normal.$$\vec n_2 = \vec v_r \times \overrightarrow{P_rA} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 4)\,\vec i - (0 - 1)\,\vec j + (-8 + 1)\,\vec k = (4, 1, -7)$$Ecuación. $\pi_2 \equiv 4x + y - 7z + D = 0$, y pasa por $P_r(0, 2, 1)$: $0 + 2 - 7 + D = 0 \Rightarrow D = 5$.$$\pi_2 \equiv 4x + y - 7z + 5 = 0$$Comprobación. $A$: $4 - 2 - 7 + 5 = 0$ ✓. Y $\vec v_r \cdot \vec n_2 = 8 - 1 - 7 = 0$ ✓.

(Otra forma: el haz de planos que contiene a $r$. Con las implícitas de $r$, $x + 2y - 4 = 0$ y $y + z - 3 = 0$, el haz es $\alpha(x + 2y - 4) + \beta(y + z - 3) = 0$; imponer que pase por $A$ da $-7\alpha - 4\beta = 0$, y con $\alpha = 4$, $\beta = -7$ sale el mismo plano.)