Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

También trata: Determinantes

Enunciado

Las matrices cuadradas que verifican que su inversa es igual a su traspuesta se llaman matrices ortogonales. Se pide:

a) Comprobar que la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

es una matriz ortogonal y calcular

A^{38}

(AA^T)^{39}

, donde

A^T

es la matriz traspuesta de

A

. (0,75 puntos)

b) ¿Puede ser el determinante de una matriz ortogonal igual a cero? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)

c) Si

A

B

son dos matrices ortogonales de igual dimensión, analizar si

A \cdot B

es también una matriz ortogonal. (0,5 puntos)

d) Encontrar la matriz

X

que verifique

A^2X - 2B = 0

, siendo

B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

AA^T = A^TA = I

, luego

A

es ortogonal.

A^{38} = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(porque

A^3 = I

) y

(AA^T)^{39} = I

.

b) No:

|M|^2 = |MM^T| = |I| = 1

, así que

|M| = \pm 1

.

c) Sí:

(AB)(AB)^T = ABB^TA^T = I

(AB)^T(AB) = I

).

d)

X = 2AB = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor de una sola idea:

M

es ortogonal si

M^{-1} = M^T

, es decir, si

M\,M^T = I

(en una matriz cuadrada basta con un lado: si

MN = I

, también

NM = I

En a) se comprueba multiplicando $A\,A^T$ . Para la potencia 38 no se multiplica 38 veces: se buscan las primeras potencias hasta que alguna dé la identidad, y a partir de ahí se repiten. La segunda potencia sale sola, porque $AA^T = I$ .
En b) y c) se razona en general, con las propiedades del determinante y de la traspuesta.
En d) se despeja $X$ multiplicando por la inversa de $A^2$ por la izquierda. Con lo visto en a), esa inversa es muy fácil.

Ojo: en d)

B

es una matriz

3\times 2

, no la

B

ortogonal de c).

Desarrollo

a) Traspuesta. Las filas de

A

pasan a ser columnas:

A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación de que es ortogonal.

A\,A^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Del mismo modo

A^T A = I

. Luego

A^{-1} = A^T

A

es ortogonal.

Potencias de $A$ .

A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A^T, \qquad A^3 = A^2\cdot A = A^T A = I

Las potencias se repiten de tres en tres. Como

38 = 3\cdot 12 + 2

A^{38} = \left(A^3\right)^{12} A^2 = I^{12}\,A^2 = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

La otra potencia. Como

AA^T = I

(AA^T)^{39} = I^{39} = I

b) No. Si

M

es ortogonal,

M\,M^T = I

. Tomando determinantes y usando

|MN| = |M|\,|N|

|M^T| = |M|

1 = |I| = |M\,M^T| = |M|\,|M^T| = |M|^2

Así que

|M| = \pm 1

, nunca 0. (Dicho de otra forma: una matriz ortogonal tiene inversa,

M^T

, y una matriz con inversa tiene determinante distinto de cero.)

c) Sí, el producto es ortogonal. Usamos que la traspuesta de un producto es el producto de las traspuestas en orden inverso,

(AB)^T = B^T A^T

, y que

AA^T = I

BB^T = I

(AB)(AB)^T = A\,B\,B^T A^T = A\,I\,A^T = A\,A^T = I

(AB)^T(AB) = B^T A^T A\,B = B^T I\,B = B^T B = I

Por tanto

(AB)^{-1} = (AB)^T

A\cdot B

es ortogonal.

d) Despejar $X$ . De

A^2X - 2B = 0

sale

A^2X = 2B

. Multiplicando por

(A^2)^{-1}

por la izquierda:

X = 2\,(A^2)^{-1} B

La inversa de $A^2$ . Por a),

A^3 = A\cdot A^2 = I

, así que

(A^2)^{-1} = A

. Entonces:

X = 2\,A\,B

Producto.

A

tiene

3\times 3

B

3\times 2

, así que

X

3\times 2

A\,B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad X = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación.

A^2 = A^T

, así que

A^2 X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 4 & 0 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = 2B \ ✓

Consejo

Ante una potencia alta, calcula $A^2$ , $A^3$ … hasta que salga la identidad (o la propia $A$ ) y divide el exponente entre ese periodo: el resto es la potencia que queda. Aquí $A^3 = I$ y $38$ deja resto 2.

En las ecuaciones matriciales, el lado por el que multiplicas importa: $A^2X = 2B$ se despeja con $(A^2)^{-1}$ a la izquierda; $2B(A^2)^{-1}$ ni siquiera se podría multiplicar, porque $B$ es $3\times 2$ .