Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

También trata: Matrices

Enunciado

Se consideran la matriz

A

, dependiente del parámetro real

a

, y el vector

w

, siguientes:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \\ a & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad w = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^T,

donde

T

indica transpuesta. Se pide:

a) Calcular el rango de

A

en función del parámetro

a

. (1 punto)

b) Discutir el sistema

A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = w

. (0,75 puntos)

c) Calcular el valor de

z

en función de

a

cuando el sistema es compatible determinado. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = -3a^2 + 5a - 2 = -(3a-2)(a-1)

. Si

a \neq 1

a \neq \tfrac{2}{3}

\text{rg}(A) = 3

; si

a = 1

a = \tfrac{2}{3}

\text{rg}(A) = 2

.

b)

a \neq 1,\ \tfrac{2}{3}

: compatible determinado.

a = 1

: compatible indeterminado.

a = \tfrac{2}{3}

: incompatible.

c)

z = \dfrac{3}{3a - 2}

(para

a \neq 1,\ \tfrac{2}{3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la discusión clásica de un sistema

3\times 3

con un parámetro, partida en tres pasos.

En a), el determinante de $A$ dice cuándo el rango es 3: siempre que no se anule. Para los valores que lo anulan, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero.
En b) aplicamos Rouché-Frobenius: comparamos el rango de $A$ con el de la matriz ampliada $A^* = (A \mid w)$ , solo en los valores especiales de a).
En c), con el sistema compatible determinado, la regla de Cramer da $z$ directamente, sin resolver el resto: es un cociente de dos determinantes, y el de abajo ya lo tenemos de a).

Desarrollo

a) Determinante de $A$ (Sarrus):

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \\ a & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + a + 4a) - (3a^2 + 2 + 0) = -3a^2 + 5a - 2

Valores que lo anulan.

-3a^2 + 5a - 2 = 0 \iff 3a^2 - 5a + 2 = 0 \iff a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}

Es decir,

a = 1

a = \tfrac{2}{3}

, y

|A| = -(3a - 2)(a - 1)

.

Rango en esos valores. El menor de las dos primeras filas y columnas no depende de

a

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0

Así que, cuando

|A| = 0

, el rango es exactamente 2:

Si $a \neq 1$ y $a \neq \tfrac{2}{3}$ : $\text{rg}(A) = 3$ .
Si $a = 1$ o $a = \tfrac{2}{3}$ : $\text{rg}(A) = 2$ .

b) Matriz ampliada.

A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ a & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)

Caso $a \neq 1,\ \tfrac{2}{3}$ .

\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) =

número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$ . La ampliada es

A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)

y la tercera fila es la segunda menos la primera, también en la columna de términos independientes:

(2 - 1,\ 3 - 1,\ 1 - 1 \mid 0 - 1) = (1, 2, 0 \mid -1)

. Entonces

\text{rg}(A^*) = 2 = \text{rg}(A) < 3

: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = \tfrac{2}{3}$ . Orlamos el menor no nulo con la columna de

w

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ \tfrac{2}{3} & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-3 + 0 + 4) - \left(2 + 0 - 2\right) = 1 \neq 0

Luego

\text{rg}(A^*) = 3 \neq 2 = \text{rg}(A)

: sistema incompatible.

c) Regla de Cramer. Para

a \neq 1,\ \tfrac{2}{3}

, se sustituye la tercera columna de

A

por

w

|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ a & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-3 + 0 + 4) - (3a + 0 - 2) = 3 - 3a = -3(a - 1)

z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-3(a - 1)}{-(3a - 2)(a - 1)} = \frac{3}{3a - 2}

Se puede simplificar

a - 1

porque en este caso

a \neq 1

.

Comprobación con

a = 0

: el sistema queda

x + y = 1

2x + 3y + z = 0

2y = -1

. Sale

y = -\tfrac{1}{2}

x = \tfrac{3}{2}

z = -3 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{3}{2}

, y la fórmula da

\tfrac{3}{0 - 2} = -\tfrac{3}{2}

✓.

Consejo

Cuando el determinante se anula, no basta con decir «el rango es menor que 3»: enseña un menor de orden 2 no nulo para dejar claro que es 2. Y en la discusión, estudia cada valor especial por separado: aquí uno da compatible indeterminado y el otro incompatible.

En c) no hace falta resolver el sistema entero: Cramer da $z$ con un solo determinante nuevo. Antes de simplificar $a - 1$ , di que $a \neq 1$ ; y comprueba la fórmula con un valor sencillo de $a$ .