Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio (solapamiento)

Enunciado

44\,\%

de los estudiantes de una universidad son hombres y el

56\,\%

mujeres. Un

20\,\%

de los hombres abandonan los estudios antes de acabar y un

15\,\%

en el caso de las mujeres. Se pide:

a) Calcular el porcentaje de estudiantes que finaliza sus estudios. (0,75 puntos)

b) Si se elige un estudiante que ha abandonado los estudios, calcular la probabilidad de que sea mujer. (0,75 puntos)

c) Si se eligen a 7 alumnos masculinos, calcular la probabilidad de que al menos 3 de ellos finalicen sus estudios. (1 punto)

(El examen adjunta la tabla de la distribución binomial.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(\text{finaliza}) = 0{,}828

: el

82{,}8\,\%

de los estudiantes finaliza sus estudios.

b)

P(\text{mujer} \mid \text{abandona}) = \dfrac{0{,}084}{0{,}172} = \dfrac{21}{43} \approx 0{,}4884

.

c) Con

X \sim B(7;\ 0{,}8)

P(X \ge 3) = P(Y \le 4) \approx 0{,}9953

, con

Y \sim B(7;\ 0{,}2)

el número de los que abandonan.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un árbol en dos etapas: primero el sexo del estudiante y después si acaba o abandona. Los porcentajes de abandono son condicionados (el

20\,\%

es de los hombres, no de todos los estudiantes), así que de ellos salen las ramas de la segunda etapa; lo que no abandona, acaba.

Con el árbol, a) es la probabilidad total de acabar y b) es Bayes: nos dan el resultado (ha abandonado) y preguntan por la primera etapa (que sea mujer).

En c) ya no se mezclan sexos: solo hay hombres, y cada uno acaba con probabilidad

0{,}8

independientemente de los demás. El número de los que acaban entre 7 es una binomial

B(7;\,0{,}8)

. La tabla del examen solo llega a

p = 0{,}5

, así que contaremos los que abandonan.

Desarrollo

Sucesos.

H

= «es hombre»,

M

= «es mujer»,

A

= «abandona los estudios» y

\bar A

= «finaliza los estudios».

Datos del árbol.

P(H) = 0{,}44, \qquad P(M) = 0{,}56

P(A \mid H) = 0{,}20 \Rightarrow P(\bar A \mid H) = 0{,}80; \qquad P(A \mid M) = 0{,}15 \Rightarrow P(\bar A \mid M) = 0{,}85

a) Probabilidad total. Se puede acabar siendo hombre o siendo mujer:

P(\bar A) = P(H)\,P(\bar A \mid H) + P(M)\,P(\bar A \mid M)

P(\bar A) = 0{,}44\cdot 0{,}80 + 0{,}56\cdot 0{,}85 = 0{,}352 + 0{,}476 = 0{,}828

Finaliza sus estudios el

82{,}8\,\%

de los estudiantes.

b) Probabilidad de abandonar. Es el suceso contrario:

P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - 0{,}828 = 0{,}172

(Comprobación por el árbol:

0{,}44\cdot 0{,}20 + 0{,}56\cdot 0{,}15 = 0{,}088 + 0{,}084 = 0{,}172

✓.)

Bayes.

P(M \mid A) = \frac{P(M)\,P(A \mid M)}{P(A)} = \frac{0{,}56\cdot 0{,}15}{0{,}172} = \frac{0{,}084}{0{,}172} = \frac{21}{43} \approx 0{,}4884

c) La variable.

X

= número de hombres que finalizan entre los 7 elegidos. Cada uno es un ensayo con dos resultados, con la misma probabilidad de éxito

p = 0{,}8

e independiente de los demás:

X \sim B(n = 7;\ p = 0{,}8)

Cambio a la variable de la tabla. La tabla llega hasta

p = 0{,}5

. Contamos los que abandonan,

Y = 7 - X \sim B(7;\ 0{,}2)

. Que acaben al menos 3 es que abandonen como mucho 4:

P(X \ge 3) = P(7 - Y \ge 3) = P(Y \le 4) = F_Y(4)

Con la tabla (

n = 7

k = 4

p = 0{,}20

, valor acumulado):

P(Y \le 4) = 0{,}9953

Comprobación con la fórmula. Es más corto el contrario:

P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)

P(X = 0) = 0{,}2^7 = 0{,}0000128, \qquad P(X = 1) = 7\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2^6 = 0{,}0003584

P(X = 2) = \binom{7}{2}\,0{,}8^2\,0{,}2^5 = 21\cdot 0{,}64\cdot 0{,}00032 = 0{,}0043008

P(X \ge 3) = 1 - 0{,}004672 = 0{,}995328 \approx 0{,}9953 \ ✓

Consejo

En a) piden un porcentaje: termina con «el $82{,}8\,\%$ », no solo con $0{,}828$ . Y en b) fíjate en qué es dato y qué es pregunta: ya sabes que ha abandonado, así que divides entre $P(A)$ , no entre 1.

En la binomial, escribe siempre la variable con sus parámetros, $X \sim B(7;\,0{,}8)$ : el corrector lo puntúa. Si la tabla no tiene tu $p$ , cuenta los fracasos y traduce bien la desigualdad: «al menos 3 que acaban» es «como mucho 4 que abandonan», $P(Y \le 4)$ .