Matemáticas IIMedio2,5 pts

OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

Comunitat Valenciana · 2026 · Julio
Enunciado
Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en 60 metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide xx metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:

a) Deducir la expresión de la función A(x)A(x) que representa el área del suelo del invernadero. (1 punto)

b) El arquitecto define una función de eficiencia estructural, f(x)f(x), que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de xx para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso. (1,5 puntos)
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Resultado
a) A(x)=x2 900−30xA(x) = \dfrac{x}{2}\,\sqrt{900 - 30x} m², con 0<x<300 < x < 30.

b) f(x)=x24(900−30x)f(x) = \dfrac{x^2}{4}(900 - 30x) es máxima para x=20x = 20 m (f′′(20)=−450<0f''(20) = -450 < 0); el triángulo es equilátero de lado 20 m y su área es 1003≈173,2100\sqrt{3} \approx 173{,}2 m².
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El suelo es un triángulo isósceles de base xx y dos lados iguales. Con el perímetro se expresan los lados iguales en función de xx; la altura sobre la base sale de Pitágoras en la mitad del triángulo, y el área es base por altura entre dos.

En b) se maximiza f(x)=A(x)2f(x) = A(x)^2: es un polinomio, mucho más cómodo de derivar que A(x)A(x), que lleva una raíz. Como el área es positiva, maximizar A2A^2 es lo mismo que maximizar AA. Se deriva, se iguala a cero y se comprueba que es un máximo con la segunda derivada.
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Desarrollo

a) Lados iguales. Si los dos lados iguales miden ℓ\ell:x+2ℓ=60  ⟹  ℓ=60−x2=30−x2x + 2\ell = 60 \;\Longrightarrow\; \ell = \frac{60 - x}{2} = 30 - \frac{x}{2}Altura. La altura sobre la base xx cae en su punto medio y parte el triángulo en dos triángulos rectángulos de catetos x2\frac{x}{2} y hh e hipotenusa ℓ\ell:h=ℓ2−(x2)2=(30−x2)2−x24=900−30x+x24−x24=900−30xh = \sqrt{\ell^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(30 - \frac{x}{2}\right)^2 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{900 - 30x + \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{900 - 30x}Área.A(x)=x⋅h2=x2 900−30xA(x) = \frac{x\cdot h}{2} = \frac{x}{2}\,\sqrt{900 - 30x}Dominio. Para que haya triángulo, x>0x > 0 y 900−30x>0900 - 30x > 0, es decir, 0<x<300 < x < 30 (con x=30x = 30 los dos lados iguales medirían 15 y el triángulo se aplastaría).

b) Función de eficiencia.f(x)=A(x)2=x24 (900−30x)=225x2−152 x3,0<x<30f(x) = A(x)^2 = \frac{x^2}{4}\,(900 - 30x) = 225x^2 - \frac{15}{2}\,x^3, \qquad 0 < x < 30Derivada y puntos críticos.f′(x)=450x−452 x2=452 x (20−x)=0  ⟺  x=0  o  x=20f'(x) = 450x - \frac{45}{2}\,x^2 = \frac{45}{2}\,x\,(20 - x) = 0 \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = 20x=0x = 0 no está en el dominio; queda x=20x = 20.

¿Máximo? Con la segunda derivada:f′′(x)=450−45x,f′′(20)=450−900=−450<0f''(x) = 450 - 45x, \qquad f''(20) = 450 - 900 = -450 < 0Es un máximo. Además f′>0f' > 0 en (0,20)(0, 20) y f′<0f' < 0 en (20,30)(20, 30), así que es el máximo absoluto en el dominio.

Área en ese caso.A(20)=202 900−600=10300=10⋅103=1003≈173,205 m2A(20) = \frac{20}{2}\,\sqrt{900 - 600} = 10\sqrt{300} = 10\cdot 10\sqrt{3} = 100\sqrt{3} \approx 173{,}205\ \text{m}^2Interpretación. Con x=20x = 20 los lados iguales miden 30−10=2030 - 10 = 20 m: el triángulo de área máxima con perímetro fijo es el equilátero. Comprobación con la fórmula del equilátero: 34⋅202=1003\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 20^2 = 100\sqrt{3} ✓.
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Consejo

En a) piden deducir la función: el corrector quiere ver de dónde salen el lado 30−x230 - \frac{x}{2} y la altura por Pitágoras, no solo la fórmula final. Indica también el dominio, 0<x<300 < x < 30.

En b) no basta con f′(x)=0f'(x) = 0: justifica que es un máximo (segunda derivada o signo de f′f') y no olvides lo que se pregunta al final, el área, no la eficiencia f(20)f(20).
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