Matemáticas IIFácil2,5 pts

IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

También trata: Derivadas y aplicaciones
Comunitat Valenciana · 2026 · Julio
Enunciado
Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe tt días después de iniciarse el brote viene dado por una función F(t)F(t) cuya derivada es F′(t)=t2(10−t)F'(t) = t^2(10 - t). Se pide:

a) Calcular la función F(t)F(t) sabiendo que en t=0t = 0 el coeficiente de gravedad es 6. (1,25 puntos)

b) Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número. (1,25 puntos)
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Resultado
a) F(t)=−14 t4+103 t3+6F(t) = -\dfrac{1}{4}\,t^4 + \dfrac{10}{3}\,t^3 + 6.

b) El coeficiente es máximo a los 10 días de iniciarse el brote, y su valor es F(10)=25183≈839,33F(10) = \dfrac{2518}{3} \approx 839{,}33.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Nos dan la derivada y piden la función: hay que integrar. La primitiva lleva una constante CC, que se fija con el dato F(0)=6F(0) = 6.

Para el máximo no hace falta la función, sino su derivada, que ya la tenemos: se buscan los ceros de F′(t)F'(t) y se estudia su signo para t≥0t \ge 0 (el tiempo empieza al iniciarse el brote). Donde F′F' pase de positiva a negativa hay un máximo; el valor del coeficiente se calcula después con la FF de a).
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Desarrollo

a) Desarrollar la derivada. Para integrar término a término:F′(t)=t2(10−t)=10t2−t3F'(t) = t^2(10 - t) = 10t^2 - t^3Primitiva.F(t)=∫(10t2−t3) dt=10 t33−t44+CF(t) = \int (10t^2 - t^3)\,dt = \frac{10\,t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + CConstante con el dato. F(0)=0−0+C=6F(0) = 0 - 0 + C = 6, así que C=6C = 6:F(t)=−14 t4+103 t3+6F(t) = -\frac{1}{4}\,t^4 + \frac{10}{3}\,t^3 + 6Comprobación. F′(t)=−t3+10t2=t2(10−t)F'(t) = -t^3 + 10t^2 = t^2(10 - t) ✓.

b) Puntos críticos.F′(t)=t2(10−t)=0  ⟺  t=0  o  t=10F'(t) = t^2(10 - t) = 0 \iff t = 0 \ \text{ o } \ t = 10Signo de la derivada para t≥0t \ge 0. El factor t2t^2 es positivo salvo en t=0t = 0, así que el signo de F′F' es el de 10−t10 - t:
0<t<100 < t < 10t>10t > 10
t2t^2++++
10−t10 - t++−-
F′(t)F'(t)++−-
F(t)F(t)crecedecrece
En t=0t = 0 la derivada se anula pero no cambia de signo (no es un máximo: es el punto de partida, y desde ahí el coeficiente crece a partir de 6). En t=10t = 10 la función pasa de crecer a decrecer: máximo. Como crece en todo (0,10)(0, 10) y decrece desde 10, es el máximo absoluto para t≥0t \ge 0.

Valor máximo.F(10)=−1044+10⋅1033+6=−2500+100003+6=−7500+10000+183=25183≈839,33F(10) = -\frac{10^4}{4} + \frac{10\cdot 10^3}{3} + 6 = -2500 + \frac{10000}{3} + 6 = \frac{-7500 + 10000 + 18}{3} = \frac{2518}{3} \approx 839{,}33
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Consejo

No te olvides de la constante de integración: es justo lo que el dato F(0)=6F(0) = 6 sirve para calcular, y sin ella el apartado a) está incompleto.

En b) que la derivada se anule no basta para decir que hay un máximo: justifícalo con el signo de F′F' (o con F′′(10)=−100<0F''(10) = -100 < 0). Y descarta t=0t = 0 razonando que F′F' no cambia de signo allí.
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