Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Dado el plano

\pi: 2x + 3y - z = 0

y los puntos

A(0, 0, 0)

B(10, 0, -20)

C(0, 15, -30)

D(1, 2, -1)

, se pide:

a) Estudiar si el triángulo

ABC

está contenido en el plano

\pi

. (0,5 puntos)

b) Calcular las coordenadas de la proyección del punto

D

sobre el plano formado por los puntos

A

B

C

. (1,25 puntos)

c) Calcular la distancia del punto

D

al plano

\pi

. (0,75 puntos)

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Resultado

a) No:

A \in \pi

, pero

B

C

no cumplen la ecuación de

\pi

(

40 \neq 0

75 \neq 0

).

b) El plano

ABC

2x + 2y + z = 0

y la proyección de

D

sobre él es

D' = \left(-\dfrac{1}{9},\ \dfrac{8}{9},\ -\dfrac{14}{9}\right)

.

c)

d(D, \pi) = \dfrac{9}{\sqrt{14}} \approx 2{,}41

unidades.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), un triángulo está en un plano si y solo si sus tres vértices están en él: basta sustituir cada uno en la ecuación de $\pi$ .
En b) el plano ya no es $\pi$ (a) dice que no contiene al triángulo), sino el plano $ABC$ . Se calcula su normal con un producto vectorial de dos lados, y la proyección de $D$ es el pie de la recta perpendicular a ese plano que pasa por $D$ .
En c) se vuelve al plano $\pi$ del enunciado y se aplica la fórmula de la distancia punto-plano.

Desarrollo

a) Sustituir los vértices en $\pi$ .

A(0, 0, 0): \ 0 + 0 - 0 = 0 \ ✓

B(10, 0, -20): \ 20 + 0 + 20 = 40 \neq 0

C(0, 15, -30): \ 0 + 45 + 30 = 75 \neq 0

Conclusión.

A

está en

\pi

, pero

B

C

no, así que el triángulo

ABC

no está contenido en

\pi

(solo lo toca en el vértice

A

).

b) Vectores del plano $ABC$ . Tomamos proporcionales más sencillos:

\overrightarrow{AB} = (10, 0, -20) = 10\,(1, 0, -2), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 15, -30) = 15\,(0, 1, -2)

Vector normal.

\vec n = (1, 0, -2)\times(0, 1, -2) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \big(0\cdot(-2) - (-2)\cdot 1,\ (-2)\cdot 0 - 1\cdot(-2),\ 1\cdot 1 - 0\cdot 0\big) = (2, 2, 1)

Plano $ABC$ . Pasa por

A(0, 0, 0)

\sigma: 2x + 2y + z = 0

Comprobación.

B

20 + 0 - 20 = 0

✓;

C

0 + 30 - 30 = 0

✓.

Recta perpendicular a $\sigma$ por $D$ . Su director es

\vec n = (2, 2, 1)

s: (x, y, z) = (1 + 2\lambda,\ 2 + 2\lambda,\ -1 + \lambda)

Intersección con $\sigma$ .

2(1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) = 0 \;\Longrightarrow\; 5 + 9\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{5}{9}

D' = \left(1 - \frac{10}{9},\ 2 - \frac{10}{9},\ -1 - \frac{5}{9}\right) = \left(-\frac{1}{9},\ \frac{8}{9},\ -\frac{14}{9}\right)

Comprobación.

D' \in \sigma

-\dfrac{2}{9} + \dfrac{16}{9} - \dfrac{14}{9} = 0

✓.

c) Distancia de $D$ a $\pi$ . Con

\pi: 2x + 3y - z = 0

D(1, 2, -1)

d(D, \pi) = \frac{|2\cdot 1 + 3\cdot 2 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{14}} = \frac{9\sqrt{14}}{14} \approx 2{,}4054

Consejo

Fíjate en qué plano pide cada apartado: b) es el plano de $A$ , $B$ y $C$ , no $\pi$ . Si proyectas sobre $\pi$ el resultado no vale aunque las cuentas estén bien.

Simplificar los vectores ( $\overrightarrow{AB}$ entre 10 y $\overrightarrow{AC}$ entre 15) antes del producto vectorial ahorra cuentas y errores: la dirección del normal no cambia. Y comprueba siempre que el plano obtenido pasa por los tres puntos.