Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Se consideran los puntos del espacio

A(0, -1, 0)

B(1, 0, 1)

, y el vector

v = (2, -1, 1)

. Se pide:

a) Encontrar una ecuación del plano

\pi

que es perpendicular a

v

y pasa por

A

. (0,75 puntos)

b) Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a

\pi

y pasa por

B

. (0,75 puntos)

c) Encontrar el punto

C

del plano

\pi

que está más cerca de

B

. (0,75 puntos)

d) Calcular la distancia del punto

B

al plano

\pi

. (0,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\pi: 2x - y + z = 1

.

b)

r: (x, y, z) = (1 + 2\lambda,\ -\lambda,\ 1 + \lambda)

\lambda \in \mathbb{R}

.

c)

C = \left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3}\right)

.

d)

d(B, \pi) = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}82

unidades.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del vector

v

un plano perpendicular a $v$ tiene a $v$ como vector normal;
una recta perpendicular al plano tiene ese mismo $v$ como director;
el punto del plano más cercano a $B$ es el pie de la perpendicular desde $B$ , es decir, la intersección de la recta de b) con $\pi$ (la proyección ortogonal de $B$ );
y la distancia de $B$ al plano es la distancia de $B$ a ese punto, o la fórmula de la distancia punto-plano (sirve para comprobar).

Desarrollo

a) Plano por un punto con su normal. Con

\vec n = v = (2, -1, 1)

y el punto

A(0, -1, 0)

2(x - 0) - (y + 1) + (z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi: 2x - y + z = 1

Comprobación.

A

0 + 1 + 0 = 1

✓.

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $B$ . Su director es el normal del plano,

v = (2, -1, 1)

r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda\,(2, -1, 1) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

En forma continua:

\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{-1} = z - 1

.

c) Pie de la perpendicular. El punto de

\pi

más cercano a

B

C = r \cap \pi

. Sustituyendo la paramétrica en el plano:

2(1 + 2\lambda) - (-\lambda) + (1 + \lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; 3 + 6\lambda = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{1}{3}

C = \left(1 - \frac{2}{3},\ \frac{1}{3},\ 1 - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\right)

Comprobación.

C \in \pi

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1

✓. Y

\overrightarrow{CB} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\,v

, perpendicular al plano ✓.

d) Distancia punto-plano. Con

\pi: 2x - y + z - 1 = 0

B(1, 0, 1)

d(B, \pi) = \frac{|2\cdot 1 - 0 + 1 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165

Comprobación. Es la distancia de

B

C

|\overrightarrow{CB}| = \frac{1}{3}\sqrt{4 + 1 + 1} = \frac{\sqrt{6}}{3}

✓.

Consejo

No confundas «perpendicular a $v$ » con «paralelo a $v$ »: un plano perpendicular a un vector lo tiene como normal (los coeficientes de $x$ , $y$ , $z$ ), y una recta perpendicular a un plano lleva como director el normal del plano.

Los apartados van encadenados: si c) y d) no dan lo mismo ( $|\overrightarrow{CB}| = d(B, \pi)$ ), hay un error de cuentas antes. Es una comprobación que cuesta un minuto.