Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

También trata: Determinantes

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

y el vector

b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

, se pide:

a) Resolver el sistema de ecuaciones

Ax = Bx + b

. (1 punto)

b) Hallar el valor de

\det\!\big(A^5 (2B)^{-1}\big)

. (0,75 puntos)

c) Calcular los valores de

\alpha

\beta

, si existen, que satisfacen

\alpha A + \beta B = I

, siendo

I

la matriz identidad. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

x = \begin{pmatrix} -2/7 \\ 1/7 \end{pmatrix}

(solución única, porque

|A - B| = 7 \neq 0

).

b)

\det\!\big(A^5 (2B)^{-1}\big) = \dfrac{3^5}{4\cdot 19} = \dfrac{243}{76} \approx 3{,}20

.

c)

\alpha = -2

\beta = 1

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres apartados cortos e independientes:

En a) la incógnita $x$ es un vector $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ . Se pasa todo a un lado y se saca factor común por la derecha: $(A - B)\,x = b$ . Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
En b) no hace falta calcular $A^5$ ni ninguna inversa: bastan las propiedades del determinante ( $|MN| = |M|\,|N|$ , $|M^n| = |M|^n$ , $|M^{-1}| = 1/|M|$ y $|kM| = k^n|M|$ en orden $n$ ).
En c) se igualan las matrices término a término: cuatro ecuaciones para dos incógnitas, que tienen que cuadrar todas.

Desarrollo

a) Agrupar la incógnita. Pasando

Bx

al primer miembro:

Ax - Bx = b \;\Longrightarrow\; (A - B)\,x = b, \qquad A - B = \begin{pmatrix} 2 - 5 & -1 + 2 \\ 1 - 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}

¿Tiene solución única?

|A - B| = (-3)(-2) - 1\cdot(-1) = 6 + 1 = 7 \neq 0

, así que

A - B

tiene inversa y la solución es única.

Resolver. Con

x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

\begin{cases} -3x_1 + x_2 = 1 \\ -x_1 - 2x_2 = 0 \end{cases}

De la segunda,

x_1 = -2x_2

; en la primera,

6x_2 + x_2 = 1

, así que

x_2 = \dfrac{1}{7}

x_1 = -\dfrac{2}{7}

.

Con la inversa (otra forma):

(A - B)^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}

x = (A - B)^{-1}\,b = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/7 \\ 1/7 \end{pmatrix}

Comprobación.

Ax = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -4 - 1 \\ -2 + 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix}

Bx + b = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -10 - 2 \\ -4 + 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix}

✓.

b) Los dos determinantes.

|A| = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3, \qquad |B| = 5\cdot 3 - (-2)\cdot 2 = 15 + 4 = 19

Propiedades.

2B

es de orden 2, así que

|2B| = 2^2\,|B| = 76 \neq 0

(tiene inversa). Entonces:

\det\!\big(A^5 (2B)^{-1}\big) = |A|^5\cdot\frac{1}{|2B|} = \frac{3^5}{2^2\cdot 19} = \frac{243}{76} \approx 3{,}197

c) Plantear la igualdad.

\alpha\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\alpha + 5\beta & -\alpha - 2\beta \\ \alpha + 2\beta & \alpha + 3\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Término a término.

\begin{cases} 2\alpha + 5\beta = 1 \\ -\alpha - 2\beta = 0 \\ \alpha + 2\beta = 0 \\ \alpha + 3\beta = 1 \end{cases}

La segunda y la tercera son la misma:

\alpha = -2\beta

. En la cuarta,

-2\beta + 3\beta = 1

, así que

\beta = 1

\alpha = -2

.

¿Cuadra la primera?

2\cdot(-2) + 5\cdot 1 = 1

✓. Las cuatro ecuaciones se cumplen, así que los valores existen y son únicos.

Comprobación.

-2A + B = \begin{pmatrix} -4 + 5 & 2 - 2 \\ -2 + 2 & -2 + 3 \end{pmatrix} = I

✓.

Consejo

En $Ax - Bx$ el factor común es $(A - B)\,x$ , con la $x$ a la derecha: el producto de matrices no es conmutativo y no se puede escribir $x(A - B)$ .

El fallo más frecuente en b) es $|2B| = 2|B|$ : al multiplicar una matriz de orden $n$ por $k$ , el determinante se multiplica por $k^n$ (aquí, por 4). Y en c) comprueba que el resultado cumple las cuatro ecuaciones, no solo las dos que has usado.