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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

Enunciado

Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos de superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El

10\,\%

de los partidos se jugaron en hierba y el

40\,\%

en tierra batida. Por otra parte, Rafa ganó el

25\,\%

de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el

12{,}5\,\%

de los jugados en tierra batida y el

55\,\%

en pista dura. Se pide:

a) Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger? (0,75 puntos)

b) Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura? (0,75 puntos)

c) Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos? (1 punto)

(El examen adjunta la tabla de la distribución binomial.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(\text{gana Roger}) = 0{,}4

: Roger ha ganado el

40\,\%

de los partidos.

b)

P(\text{pista dura} \mid \text{gana Rafa}) = \dfrac{0{,}225}{0{,}6} = 0{,}375

.

c) Con

X \sim B(10;\ 0{,}55)

P(5 \le X \le 6) = P(4 \le Y \le 5) \approx 0{,}4724

, con

Y \sim B(10;\ 0{,}45)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de árbol en dos etapas: primero la superficie y después quién gana. Antes de nada hay que completar los datos que faltan:

la pista dura es lo que queda: $100 - 10 - 40 = 50\,\%$ ;
en cada partido gana uno de los dos, así que lo que no gana uno lo gana el otro (en hierba, si Rafa gana el $25\,\%$ , Roger gana el $75\,\%$ ).

Con el árbol completo, a) es la probabilidad total y b) es Bayes (nos dan el resultado y preguntan por la superficie). En c) cambia el planteamiento: 10 partidos en pista dura, cada uno lo gana Roger con probabilidad

0{,}55

independientemente de los demás, así que el número de victorias de Roger es una binomial

B(10;\,0{,}55)

Desarrollo

Sucesos.

H

= «se juega en hierba»,

T

= «en tierra batida»,

D

= «en pista dura»;

R

= «gana Roger» y

\bar R

= «gana Rafa».

Datos del árbol.

P(H) = 0{,}1, \qquad P(T) = 0{,}4, \qquad P(D) = 1 - 0{,}1 - 0{,}4 = 0{,}5

P(\bar R \mid H) = 0{,}25 \Rightarrow P(R \mid H) = 0{,}75; \qquad P(R \mid T) = 0{,}125; \qquad P(R \mid D) = 0{,}55

a) Probabilidad total. Roger puede ganar en cualquiera de las tres superficies:

P(R) = P(H)\,P(R \mid H) + P(T)\,P(R \mid T) + P(D)\,P(R \mid D)

P(R) = 0{,}1\cdot 0{,}75 + 0{,}4\cdot 0{,}125 + 0{,}5\cdot 0{,}55 = 0{,}075 + 0{,}05 + 0{,}275 = 0{,}4

Roger ha ganado el

40\,\%

de los partidos.

b) Probabilidad de que gane Rafa. Es el suceso contrario:

P(\bar R) = 1 - P(R) = 0{,}6

Bayes. En pista dura Rafa gana el

45\,\%

P(\bar R \mid D) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45

P(D \mid \bar R) = \frac{P(D)\,P(\bar R \mid D)}{P(\bar R)} = \frac{0{,}5\cdot 0{,}45}{0{,}6} = \frac{0{,}225}{0{,}6} = 0{,}375

c) La variable.

X

= número de partidos que gana Roger entre los 10 de pista dura. Cada partido es un ensayo con dos resultados, con la misma probabilidad de éxito

p = 0{,}55

e independiente de los demás:

X \sim B(n = 10;\ p = 0{,}55)

La tabla solo llega a $p = 0{,}50$ . Contamos entonces las victorias de Rafa,

Y = 10 - X \sim B(10;\ 0{,}45)

. Que Roger gane 5 o 6 es que Rafa gane 5 o 4:

P(5 \le X \le 6) = P(4 \le Y \le 5) = F_Y(5) - F_Y(3)

Con la tabla (

n = 10

p = 0{,}45

, valores acumulados):

P(4 \le Y \le 5) = 0{,}7384 - 0{,}2660 = 0{,}4724

Comprobación con la fórmula.

P(X = 5) = \binom{10}{5}\,0{,}55^5\,0{,}45^5 \approx 0{,}2340, \qquad P(X = 6) = \binom{10}{6}\,0{,}55^6\,0{,}45^4 \approx 0{,}2384

P(X = 5) + P(X = 6) \approx 0{,}4724 \ ✓

Consejo

Lee con cuidado de quién es cada porcentaje: el de hierba es de Rafa y los otros dos de Roger. Pásalos todos al mismo jugador antes de dibujar el árbol, y no olvides el $50\,\%$ de pista dura, que no se da.

En la binomial, si la tabla no tiene tu $p$ , cuenta los fracasos: $B(n;\,p)$ y $B(n;\,1-p)$ son la misma variable mirada desde el otro lado. Y al restar acumuladas, $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a-1)$ : el $-1$ es el error más típico.