Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Variables. Sea $x$ la distancia de la esquina al extremo de la barra apoyado en la pared horizontal, e $y$ la distancia de la esquina al extremo apoyado en la pared vertical (en metros).

Función y relación.$$\text{Área} = \frac{xy}{2}, \qquad x^2 + y^2 = 4^2 = 16 \ \Longrightarrow\ y = \sqrt{16 - x^2}.$$$$f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{16 - x^2}, \qquad x \in [0, 4].$$Derivada. Con la regla del producto y la de la cadena:$$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{16 - x^2} + x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{16 - x^2}}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{16 - x^2 - x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = \frac{8 - x^2}{\sqrt{16 - x^2}}.$$Punto crítico. $f'(x) = 0 \iff x^2 = 8 \iff x = \pm 2\sqrt{2}$. Como $x$ es una distancia, $x = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ m.

Es un máximo. El signo de $f'$ es el de $8 - x^2$: positivo en $(0, 2\sqrt2)$ (el área crece) y negativo en $(2\sqrt2, 4)$ (el área decrece). Además, en los extremos del intervalo el área es $f(0) = f(4) = 0$. Luego $x = 2\sqrt2$ es el máximo absoluto.

(Otra forma: $h(x) = \big(2f(x)\big)^2 = 16x^2 - x^4$ tiene los máximos en los mismos puntos; $h'(x) = 32x - 4x^3 = 4x(8 - x^2) = 0 \iff x = 0$ o $x = \pm2\sqrt2$, y $h''(x) = 32 - 12x^2$ da $h''(2\sqrt2) = 32 - 96 = -64 < 0$: máximo.)

Dónde va la barra. $y = \sqrt{16 - 8} = \sqrt8 = 2\sqrt2$ m. El área máxima es$$f(2\sqrt2) = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2 = 4\ \text{m}^2.$$El triángulo óptimo es isósceles: la barra forma $45^\circ$ con las dos paredes.