Matemáticas IIDifícil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Un montículo de hormigón tiene forma parabólica con una altura de 12 m y una base de 6 m, como se ve en la figura. Se quiere colocar una escalera apoyada en el montículo y de forma que su extremo superior quede 3 m por encima de la cúspide del montículo. ¿A qué distancia de la base del montículo debe colocarse el extremo inferior de la escalera?

Perfil de un montículo con forma de parábola, de 6 m de base y 12 m de altura, con su eje de simetría vertical dibujado a trazos. Una escalera recta, apoyada en el lado derecho del montículo, toca el suelo a la derecha de la base y su extremo superior queda sobre el eje, 3 m por encima de la cúspide.

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Resultado

Con la parábola

f(x) = 12 - \frac{4}{3}x^2

, la escalera es la tangente

y = 15 - 4x

(punto de apoyo

\left(\frac32, 9\right)

), que llega al suelo en

x = \frac{15}{4}

m. El pie de la escalera debe estar a

\dfrac{3}{4} = 0{,}75

m del borde de la base del montículo (3,75 m del centro).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

«Apoyada en el montículo» quiere decir que la escalera es tangente a la parábola. Así que el problema es geométrico disfrazado:

Poner unos ejes cómodos: el suelo en el eje OX y el eje de simetría en el eje OY. Entonces la parábola tiene el vértice en $(0, 12)$ y corta al suelo en $(\pm 3, 0)$ .
El extremo superior de la escalera está sobre el eje, 3 m por encima de la cúspide: el punto $(0, 15)$ .
Buscar la recta tangente a la parábola que pasa por $(0, 15)$ (un punto exterior, no de la parábola): se escribe la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ y se obliga a pasar por $(0, 15)$ .
Su corte con el eje OX es el pie de la escalera; la distancia pedida se mide desde el borde de la base, $x = 3$ .

Desarrollo

Ecuación de la parábola. Con el vértice en

(0, 12)

y simétrica respecto del eje OY:

f(x) = 12 - kx^2

. Pasa por

(3, 0)

0 = 12 - 9k \iff k = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 12 - \frac{4}{3}x^2, \qquad f'(x) = -\frac{8}{3}x.

Tangente en un punto genérico. En el punto

(a, f(a))

, con

a > 0

(la escalera se apoya en el lado derecho):

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Que pase por $(0, 15)$ . Sustituyendo

x = 0

y = 15

15 = f(a) - a f'(a) = 12 - \frac{4}{3}a^2 - a\left(-\frac{8}{3}a\right) = 12 + \frac{4}{3}a^2.

\frac{4}{3}a^2 = 3 \iff a^2 = \frac{9}{4} \iff a = \frac{3}{2} \quad (a > 0).

Recta de la escalera.

f\!\left(\tfrac32\right) = 12 - \frac43\cdot\frac94 = 9

f'\!\left(\tfrac32\right) = -4

y = 9 - 4\left(x - \frac{3}{2}\right) = 15 - 4x.

(Pasa por

(0, 15)

✓ y toca a la parábola en

\left(\frac32, 9\right)

.)

Pie de la escalera. Corte con el eje OX:

15 - 4x = 0 \iff x = \dfrac{15}{4} = 3{,}75

m.

Distancia a la base. El borde de la base está en

x = 3

d = \frac{15}{4} - 3 = \frac{3}{4} = 0{,}75\ \text{m}.

(Medida desde el centro de la base serían

3{,}75

m.)

Consejo

Los criterios reparten el ejercicio en cuatro pasos de medio punto: la ecuación de la parábola, la tangente general, la abscisa del punto de tangencia y la distancia. Escribe los ejes que eliges: con el vértice en el eje OY la parábola sale sin término en $x$ . Y cuidado: $(0, 15)$ no es de la parábola, así que no vale calcular la tangente «en $(0, 15)$ ».