Sean los puntos A = (1, 1, 2) y B = (-1, 0, 3). a) Encuentra la ecuación del plano \pi que cumple que A y B son simétricos con respecto a \pi. (1,5 puntos) b) ¿Cuál es la distancia de A a \pi? (0,5 puntos)

Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Sean los puntos

A = (1, 1, 2)

B = (-1, 0, 3)

.

a) Encuentra la ecuación del plano

\pi

que cumple que

A

B

son simétricos con respecto a

\pi

. (1,5 puntos)

b) ¿Cuál es la distancia de

A

\pi

? (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0

(plano mediador del segmento

AB

).

b)

d(A, \pi) = \dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que

A

B

sean simétricos respecto de un plano significa dos cosas: el segmento

AB

es perpendicular al plano y el plano pasa por su punto medio. Es el plano mediador del segmento: el lugar de los puntos que equidistan de

A

y de

B

.

Así que el vector

\overrightarrow{AB}

sirve de normal, y el punto medio fija el término independiente. En b), el plano corta el segmento por la mitad: la distancia de

A

al plano es la mitad de la distancia de

A

B

(y se comprueba con la fórmula de la distancia punto-plano).

Desarrollo

a) Vector normal.

\overrightarrow{AB} = (-1 - 1,\ 0 - 1,\ 3 - 2) = (-2, -1, 1).

Tomamos el proporcional

\vec n = (2, 1, -1)

. El plano es de la forma

\pi \equiv 2x + y - z + d = 0.

Punto medio de $AB$ .

M = \left(\frac{1 + (-1)}{2},\ \frac{1 + 0}{2},\ \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right).

Término independiente.

M \in \pi

2\cdot 0 + \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + d = 0 \iff d = 2.

\pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0.

Comprobación (por equidistancia). Para cualquier plano

2x + y - z + d = 0

, pedir

d(A, \pi) = d(B, \pi)

\frac{|2 + 1 - 2 + d|}{\sqrt{6}} = \frac{|-2 + 0 - 3 + d|}{\sqrt{6}} \iff |d + 1| = |d - 5|,

cuya única solución es

d = 2

(el punto medio entre

-1

5

). Coincide.

b) Distancia de $A$ a $\pi$ .

d(A, \pi) = \frac{|2\cdot 1 + 1 - 2 + 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\ \text{u}.

Comprobación.

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

y el plano lo corta por la mitad:

d(A, \pi) = \frac{1}{2}d(A, B) = \frac{\sqrt 6}{2}

✓.

Consejo

Los criterios dan medio punto por el vector normal y un punto entero por la ecuación del plano: no basta con decir que $\overrightarrow{AB}$ es perpendicular, hay que usar el punto medio (no $A$ ni $B$ ) para hallar $d$ . Comprueba al final que $M$ cumple la ecuación.