Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
País Vasco · 2026 · Junio
Enunciado
Sean la recta r≡x=y−1=−zr \equiv x = y - 1 = -z, y el plano π≡−x+2y+z+A=0\pi \equiv -x + 2y + z + A = 0.

a) Discute la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función de los valores del parámetro AA. (1,5 puntos)

b) Calcula la distancia de la recta rr al plano π\pi en función de los valores del parámetro AA. (0,5 puntos)
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Resultado
a) v⃗r⋅n⃗=0\vec v_r \cdot \vec n = 0 para todo AA: si A=−2A = -2, la recta está contenida en el plano; si A≠−2A \neq -2, la recta es paralela al plano. Nunca se cortan en un solo punto.

b) d(r,π)=∣A+2∣6=6 ∣A+2∣6d(r, \pi) = \dfrac{|A + 2|}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}\,|A + 2|}{6} u (que vale 00 para A=−2A = -2).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La posición de una recta y un plano se decide con dos vectores: el director de la recta, v⃗r\vec v_r, y el normal del plano, n⃗\vec n.
  • Si v⃗r⋅n⃗≠0\vec v_r \cdot \vec n \neq 0, la recta corta al plano en un punto.
  • Si v⃗r⋅n⃗=0\vec v_r \cdot \vec n = 0, la recta es paralela al plano o está contenida en él; se distingue mirando si un punto de la recta está en el plano.
Aquí el producto escalar sale cero sea cual sea AA, así que el parámetro solo decide entre «contenida» y «paralela». En b), una recta paralela a un plano está toda a la misma distancia de él: basta con la distancia de un punto de la recta.
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Desarrollo

a) Vector director y punto de rr. Escribiendo rr en forma continua,r≡x−01=y−11=z−0−1,r \equiv \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 0}{-1},así que v⃗r=(1,1,−1)\vec v_r = (1, 1, -1) y P=(0,1,0)∈rP = (0, 1, 0) \in r.

Vector normal de π\pi. n⃗=(−1,2,1)\vec n = (-1, 2, 1).

Producto escalar.v⃗r⋅n⃗=1⋅(−1)+1⋅2+(−1)⋅1=0.\vec v_r \cdot \vec n = 1\cdot(-1) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 0.Los vectores son perpendiculares: la recta es paralela al plano o está contenida en él, para cualquier AA. Nunca se cortan en un único punto.

¿Está PP en el plano? Sustituyendo P=(0,1,0)P = (0, 1, 0) en π\pi:−0+2⋅1+0+A=2+A.-0 + 2\cdot 1 + 0 + A = 2 + A.
  • Si A=−2A = -2: P∈πP \in \pi, y como rr es paralela a π\pi, la recta está contenida en el plano.
  • Si A≠−2A \neq -2: P∉πP \notin \pi, y la recta es paralela al plano (sin puntos comunes).
(Equivalente: un punto genérico de rr es (t,t+1,−t)(t, t + 1, -t); en π\pi da −t+2t+2−t+A=A+2=0-t + 2t + 2 - t + A = A + 2 = 0, que no depende de tt: o lo cumplen todos los puntos o ninguno.)

b) Distancia. Si A=−2A = -2 la recta está en el plano: d(r,π)=0d(r, \pi) = 0.

Si A≠−2A \neq -2, la recta es paralela y todos sus puntos están a la misma distancia; usamos P=(0,1,0)P = (0, 1, 0):d(r,π)=d(P,π)=∣−0+2⋅1+0+A∣(−1)2+22+12=∣A+2∣6.d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|-0 + 2\cdot 1 + 0 + A|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|A + 2|}{\sqrt{6}}.La fórmula da también 00 para A=−2A = -2, así que vale para todo AA.
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Consejo

Los criterios reparten el apartado a) en tres partes iguales: hallar v⃗r\vec v_r y n⃗\vec n, comprobar que son perpendiculares y deducir la posición según AA. Escribe la recta en forma continua antes de leer su vector: el signo de −z-z es la trampa (v⃗r\vec v_r lleva −1-1 en la tercera componente). Y la distancia, con el valor absoluto.
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