Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

a) Parábola $y = x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$. Abierta hacia arriba. Corta el eje OX en $x = 0$ y $x = \frac{3}{2}$. Vértice en $x = \frac{0 + 3/2}{2} = \frac{3}{4}$, con$$y = \frac{3}{4}\left(\frac{3}{2} - 3\right) = -\frac{9}{8} \quad\Longrightarrow\quad V_1 = \left(\frac{3}{4}, -\frac{9}{8}\right).$$Parábola $y = x(2 - x) = 2x - x^2$. Abierta hacia abajo. Corta el eje OX en $x = 0$ y $x = 2$. Vértice en $x = 1$, con $y = 1$: $V_2 = (1, 1)$.

Puntos de corte entre las dos.$$x(2x - 3) = x(2 - x) \iff x\big((2x - 3) - (2 - x)\big) = 0 \iff x(3x - 5) = 0 \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = \frac{5}{3}.$$Los puntos son $(0, 0)$ y $\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{9}\right)$ (con $y = \frac{5}{3}\left(2 - \frac{5}{3}\right) = \frac{5}{9}$).

Dibujo. En unos ejes, la parábola $y = 2x - x^2$ es un arco que sale del origen, sube hasta su vértice $(1, 1)$ y baja hasta cortar el eje en $x = 2$; la parábola $y = 2x^2 - 3x$ sale del origen hacia abajo, llega a su mínimo $\left(\frac34, -\frac98\right)$ y vuelve a subir cortando el eje en $x = \frac32$. Las dos se cruzan en el origen y en $\left(\frac53, \frac59\right)$. El recinto es la región en forma de lente comprendida entre ellas para $0 \le x \le \frac{5}{3}$: arriba la parábola $y = x(2-x)$ y abajo la parábola $y = x(2x-3)$; queda en parte por encima y en parte por debajo del eje OX.

b) Qué función va por encima. En $x = 1$ (dentro de $[0, 5/3]$): $1\cdot(2-1) = 1 > 1\cdot(2-3) = -1$. Así que en todo el intervalo $x(2 - x) \ge x(2x - 3)$.

Integral del área. La diferencia es$$x(2 - x) - x(2x - 3) = 2x - x^2 - 2x^2 + 3x = 5x - 3x^2,$$$$\text{Área} = \int_0^{5/3} \left(5x - 3x^2\right)dx.$$Primitiva y regla de Barrow.$$\int_0^{5/3} \left(5x - 3x^2\right)dx = \left[\frac{5x^2}{2} - x^3\right]_0^{5/3} = \frac{5}{2}\cdot\frac{25}{9} - \frac{125}{27} = \frac{125}{18} - \frac{125}{27} = \frac{375 - 250}{54} = \frac{125}{54}.$$