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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Dado

a \neq 0

, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} x + ay = 1, \\ x + ay + z = a, \\ (a-2)x + ay + (a-1)z = a + 2. \end{cases}

a) Encuentra un valor de

a

para el que el sistema dado tiene más de una solución. (1 punto)

b) Encuentra todas las soluciones del sistema para el valor de

a

del apartado anterior. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = a(a-3)

; con

a \neq 0

, el sistema tiene más de una solución para

a = 3

(

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2

: compatible indeterminado).

b)

x = t

\ y = \dfrac{1-t}{3}

\ z = 2

, con

t \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas tiene solución única si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero (Rouché-Frobenius). Para que tenga más de una, el determinante tiene que anularse y además el sistema debe ser compatible (si no, no tendría ninguna).

Así que: calculamos

|A|

, buscamos sus raíces (descartando

a = 0

, que el enunciado excluye), comprobamos los rangos para ese valor y, en b), resolvemos por Gauss dejando una incógnita como parámetro.

Desarrollo

a) Matriz de coeficientes y ampliada.

A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & a & 1 \\ a-2 & a & a-1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ a-2 & a & a-1 & a+2 \end{array}\right).

Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & a-1 \end{vmatrix} - a\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a-2 & a-1 \end{vmatrix} = \big(a(a-1) - a\big) - a\big((a-1)-(a-2)\big) = a^2 - 2a - a = a(a-3).

Valores críticos.

|A| = 0 \iff a = 0

a = 3

. Como

a \neq 0

, para cualquier

a \neq 3

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3

y el sistema es compatible determinado (una sola solución). El único candidato es

a = 3

.

Rangos para $a = 3$ .

A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow[F_3 - F_1]{F_2 - F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 - 2F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Quedan dos filas no nulas tanto en

A

como en

A^*

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3

. Por Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

b) Sistema equivalente. Para

a = 3

, de la forma escalonada:

\begin{cases} x + 3y = 1, \\ z = 2. \end{cases}

Parámetro. Tomamos

x = t

; entonces

3y = 1 - t

, es decir,

y = \dfrac{1-t}{3}

, y

z = 2

.

Comprobación (con

t = 1

x = 1

y = 0

z = 2

1 + 0 = 1

✓;

1 + 0 + 2 = 3

✓;

1 + 0 + 2\cdot 2 = 5

✓.

Consejo

Que el determinante se anule no basta para decir «infinitas soluciones»: los criterios puntúan aparte (0,5) comprobar que para $a = 3$ los dos rangos coinciden. Si fueran distintos, el sistema sería incompatible. Y no olvides que el enunciado excluye $a = 0$ .