Matemáticas IIMedio2 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

País Vasco · 2026 · Junio
Enunciado
Se considera un gas ideal clásico en equilibrio térmico a temperatura TT. El sistema viene descrito por la estadística de Maxwell-Boltzmann. A pesar de que el módulo de la velocidad de las moléculas del gas no es gaussiano, cada componente cartesiana de la velocidad sí lo es. Teniendo en cuenta la primera componente de la velocidad, su distribución normal es N(0,kBTm)N\left(0, \dfrac{k_B T}{m}\right), siendo kBk_B la constante de Boltzmann y mm la masa de una molécula del gas considerado. En el caso del nitrógeno a T=300T = 300 K, la desviación típica es kBTm=298\dfrac{k_B T}{m} = 298 m/s.

a) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K sea inferior a 300 m/s. (0,75 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K esté comprendida entre −600-600 m/s y −300-300 m/s. (0,75 puntos)

c) Un investigador estudia otro gas, argón, cuyas moléculas tienen mayor masa que las del nitrógeno y, por tanto, si se mantiene la temperatura TT, la desviación típica correspondiente es menor. Sin realizar ningún cálculo numérico, responde razonadamente: ¿la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de argón tenga valor absoluto menor que 300 m/s será mayor, menor o igual que en el caso de una molécula de nitrógeno? Justifica tu respuesta utilizando la expresión de la desviación típica, σ=kBTm\sigma = \dfrac{k_B T}{m}. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
a) P(∣X∣<300)=2P(Z<1,01)−1=0,6876P(|X| < 300) = 2P(Z < 1{,}01) - 1 = 0{,}6876.

b) P(−600<X<−300)=P(Z<2,01)−P(Z<1,01)=0,1340P(-600 < X < -300) = P(Z < 2{,}01) - P(Z < 1{,}01) = 0{,}1340.

c) Mayor para el argón: su σ\sigma es menor, así que 300/σ300/\sigma es mayor y el intervalo de ZZ es más ancho.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El contexto físico asusta, pero el ejercicio es una normal de las de siempre: llamamos XX a la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno, que sigue una normal de media 00 y desviación típica σ=298\sigma = 298 m/s.
  • En a) y b) se tipifica con Z=X/298Z = X/298, se reescribe cada probabilidad en términos de P(Z<α)P(Z < \alpha) con α>0\alpha > 0 (la tabla solo da valores positivos) y se usa la simetría de la normal.
  • En c) no hay que calcular nada: al bajar σ\sigma el valor tipificado del extremo 300/σ300/\sigma crece, y el intervalo de ZZ se ensancha.
Un detalle del enunciado: en rigor la varianza es kBT/mk_BT/m y la desviación típica es kBT/m\sqrt{k_BT/m}; el examen escribe la desviación típica sin la raíz. No cambia nada: el dato que se usa es σ=298\sigma = 298 m/s, y en c) σ\sigma sigue bajando al aumentar mm.
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Desarrollo

Planteamiento. Sea XX la primera componente de la velocidad (en m/s) de una molécula de nitrógeno a 300 K: X∼N(0, 298)X \sim N(0,\ 298), con desviación típica σ=298\sigma = 298. (Aunque el enunciado escriba σ=kBT/m\sigma = k_BT/m, la desviación típica es la raíz de la varianza, σ=kBT/m\sigma = \sqrt{k_BT/m}; tomamos el dato numérico σ=298\sigma = 298 m/s.) Tipificamos conZ=X−0298∼N(0,1).Z = \frac{X - 0}{298} \sim N(0, 1).a) Tipificación. ∣X∣<300|X| < 300 equivale a −300<X<300-300 < X < 300:P(∣X∣<300)=P(−300298<Z<300298)≈P(−1,01<Z<1,01).P(|X| < 300) = P\left(-\frac{300}{298} < Z < \frac{300}{298}\right) \approx P(-1{,}01 < Z < 1{,}01).Paso a probabilidades de la tabla. Por la simetría de la normal, P(Z<−1,01)=1−P(Z<1,01)P(Z < -1{,}01) = 1 - P(Z < 1{,}01):P(−1,01<Z<1,01)=P(Z<1,01)−(1−P(Z<1,01))=2P(Z<1,01)−1.P(-1{,}01 < Z < 1{,}01) = P(Z < 1{,}01) - \big(1 - P(Z < 1{,}01)\big) = 2P(Z < 1{,}01) - 1.Valor de la tabla. P(Z<1,01)=0,8438P(Z < 1{,}01) = 0{,}8438, así queP(∣X∣<300)=2⋅0,8438−1=0,6876.P(|X| < 300) = 2 \cdot 0{,}8438 - 1 = 0{,}6876.b) Tipificación.P(−600<X<−300)=P(−600298<Z<−300298)≈P(−2,01<Z<−1,01).P(-600 < X < -300) = P\left(-\frac{600}{298} < Z < -\frac{300}{298}\right) \approx P(-2{,}01 < Z < -1{,}01).Paso a valores positivos. El intervalo (−2,01, −1,01)(-2{,}01,\,-1{,}01) tiene la misma probabilidad que su simétrico (1,01, 2,01)(1{,}01,\,2{,}01):P(−2,01<Z<−1,01)=P(1,01<Z<2,01)=P(Z<2,01)−P(Z<1,01).P(-2{,}01 < Z < -1{,}01) = P(1{,}01 < Z < 2{,}01) = P(Z < 2{,}01) - P(Z < 1{,}01).Valores de la tabla. P(Z<2,01)=0,9778P(Z < 2{,}01) = 0{,}9778:P(−600<X<−300)=0,9778−0,8438=0,1340.P(-600 < X < -300) = 0{,}9778 - 0{,}8438 = 0{,}1340.c) Cómo cambia σ\sigma. Con TT fija, σ\sigma disminuye al aumentar mm (está en el denominador). Como mAr>mN2m_{\text{Ar}} > m_{\text{N}_2}, se tiene σAr<σN2\sigma_{\text{Ar}} < \sigma_{\text{N}_2}.

Tipificación de los dos sucesos. Para cada gas, con Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1):P(∣X∣<300)=P(∣Z∣<300σ).P(|X| < 300) = P\left(|Z| < \frac{300}{\sigma}\right).Comparación. Como σAr<σN2\sigma_{\text{Ar}} < \sigma_{\text{N}_2}, es 300σAr>300σN2\dfrac{300}{\sigma_{\text{Ar}}} > \dfrac{300}{\sigma_{\text{N}_2}}: el intervalo (−300σAr, 300σAr)\left(-\frac{300}{\sigma_{\text{Ar}}},\ \frac{300}{\sigma_{\text{Ar}}}\right) contiene al del nitrógeno, y un intervalo que contiene a otro tiene mayor probabilidad (la densidad de la normal es positiva en todo R\mathbb{R}). Por tantoP(∣XAr∣<300)>P(∣XN2∣<300).P(|X_{\text{Ar}}| < 300) > P(|X_{\text{N}_2}| < 300).Interpretación. Con menor desviación típica la distribución está más concentrada alrededor de la media 00: es más probable encontrar valores pequeños de la velocidad.
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Consejo

Los criterios dan un cuarto de punto por tipificar, otro por reescribir la probabilidad como P(Z<α)P(Z<\alpha) con α>0\alpha>0 y otro por leer la tabla: escribe los tres pasos, aunque la cuenta sea corta. En la pregunta razonada (c) no basta con decir «mayor»: hay que relacionar la masa con σ\sigma y σ\sigma con el valor tipificado 300/σ300/\sigma.
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