Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio
Enunciado
En un estudio sobre hábitos de consumo digital, se observa que la edad de las personas suscritas a plataformas de películas y series en streaming puede modelizarse mediante una distribución normal de media 3434 años y desviación típica de 66 años.

Sea XX la variable aleatoria que representa la edad, en años, de una persona suscrita elegida al azar. Calcula:

a) (1 punto) La probabilidad de que una persona suscrita elegida al azar tenga una edad comprendida entre 2828 y 4646 años.

b) (1 punto) La edad KK tal que el 15,87 %15{,}87\,\% de las personas suscritas tenga una edad superior a KK años.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)
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Resultado
a) P(28<X<46)=P(−1<Z<2)=0,9772−0,1587=0,8185\boxed{\text{a)}\ P(28 < X < 46) = P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185}b) K=40 an˜os\boxed{\text{b)}\ K = 40 \text{ años}}
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Estrategia

Tenemos X∼N(34,6)X \sim N(34, 6). En los dos apartados el truco es el mismo: tipificar para pasar a la N(0,1)N(0, 1), que es la que trae la tabla.

En a) los extremos 2828 y 4646 están justo a una desviación típica por debajo y a dos por encima de la media, así que salen valores de ZZ redondos: −1-1 y 22. La probabilidad de un intervalo es la resta de dos valores de la tabla, y el negativo se arregla con la simetría.

En b) el camino es el inverso: nos dan una probabilidad y nos piden el valor. Pasamos la cola de la derecha a la de la izquierda (1−0,1587=0,84131 - 0{,}1587 = 0{,}8413), buscamos ese número dentro de la tabla y deshacemos la tipificación.
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Desarrollo

Sea XX la edad de una persona suscrita, X∼N(34,6)X \sim N(34, 6), y Z=X−346∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 34}{6} \sim N(0, 1).

a) Tipificamos los dos extremos:P(28<X<46)=P(28−346<Z<46−346)=P(−1<Z<2)=P(Z<2)−P(Z<−1).P(28 < X < 46) = P\left(\frac{28 - 34}{6} < Z < \frac{46 - 34}{6}\right) = P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1).De la tabla, P(Z<2)=0,9772P(Z < 2) = 0{,}9772. Para el valor negativo usamos la simetría de la normal:P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z≤1)=1−0,8413=0,1587.P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587.Por tanto,P(28<X<46)=0,9772−0,1587=0,8185.P(28 < X < 46) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.Aproximadamente el 81,85 %81{,}85\,\% de las personas suscritas tiene entre 2828 y 4646 años.
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b) Buscamos KK con P(X>K)=0,1587P(X > K) = 0{,}1587. Pasamos al complementario, que es lo que da la tabla:P(X≤K)=1−0,1587=0,8413.P(X \leq K) = 1 - 0{,}1587 = 0{,}8413.Tipificando,P(Z≤K−346)=0,8413.P\left(Z \leq \frac{K - 34}{6}\right) = 0{,}8413.Como la probabilidad es mayor que 0,50{,}5, el valor de ZZ es positivo. Buscando 0,84130{,}8413 dentro de la tabla, aparece exactamente en la fila 11 y la columna 00, es decir, P(Z≤1)=0,8413P(Z \leq 1) = 0{,}8413. Así queK−346=1  ⟹  K=34+6=40.\frac{K - 34}{6} = 1 \;\Longrightarrow\; K = 34 + 6 = 40.Comprobación: P(X>40)=P(Z>1)=1−0,8413=0,1587P(X > 40) = P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587, el 15,87 %15{,}87\,\%. ✓
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Consejo

En a) el error típico es restar 0,9772−0,84130{,}9772 - 0{,}8413: eso sería P(1<Z<2)P(1 < Z < 2). El extremo izquierdo es −1-1, y P(Z<−1)=1−0,8413P(Z < -1) = 1 - 0{,}8413. Haz un dibujo de la campana y verás qué trozo estás calculando.

En b) cuidado con la cola: el 15,87 %15{,}87\,\% está por encima de KK. Antes de ir a la tabla, pásalo a P(X≤K)=0,8413P(X \leq K) = 0{,}8413 y busca ese número dentro de la tabla, no en los márgenes.
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