Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Andalucía · 2026 · Reserva 2
Enunciado
Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Las tallas de las niñas al nacer se distribuyen según una distribución normal de media 5050 cm y desviación típica 1,81{,}8 cm.

a) [1 punto] Halla la probabilidad de que una niña al nacer mida más de 5454 cm.

b) [1,5 puntos] Si en un hospital durante un mes han nacido 100100 niñas, ¿cuántas tendrán en el momento del nacimiento una talla entre 48,248{,}2 y 51,851{,}8 cm?
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Resultado
  a) P(X>54)=P(Z>2,22)=0,0132  \boxed{\;\text{a) } P(X > 54) = P(Z > 2{,}22) = 0{,}0132\;}  b) P(−1≤Z≤1)=0,6826;100⋅0,6826≈68 nin˜as  \boxed{\;\text{b) } P(-1 \leq Z \leq 1) = 0{,}6826; \quad 100\cdot 0{,}6826 \approx 68 \text{ niñas}\;}
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Estrategia

Llamamos XX a la talla al nacer, X∼N(50; 1,8)X \sim N(50;\ 1{,}8). Todo pasa por tipificar, Z=X−501,8∼N(0,1)Z = \frac{X - 50}{1{,}8} \sim N(0, 1), y leer la tabla, que da P(Z≤z)P(Z \leq z).

En a) se pide una cola derecha: P(X>54)=1−P(Z≤z)P(X > 54) = 1 - P(Z \leq z).

En b) el intervalo [48,2; 51,8][48{,}2;\ 51{,}8] es simétrico respecto de la media: está a 1,81{,}8 cm, una desviación típica, a cada lado. Así que es P(−1≤Z≤1)P(-1 \leq Z \leq 1), que se calcula con la simetría de la normal. Esa probabilidad es la proporción de niñas con esa talla; multiplicada por 100100 da el número esperado.
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Desarrollo

Datos. XX = talla (en cm) de una niña al nacer, X∼N(μ=50; σ=1,8)X \sim N(\mu = 50;\ \sigma = 1{,}8), y Z=X−501,8∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 50}{1{,}8} \sim N(0, 1).

a) Probabilidad de que mida más de 5454 cm.

Se pide P(X>54)P(X > 54). Tipificando:P(X>54)=P(Z>54−501,8)=P(Z>41,8)=P(Z>2,22)P(X > 54) = P\left(Z > \frac{54 - 50}{1{,}8}\right) = P\left(Z > \frac{4}{1{,}8}\right) = P(Z > 2{,}22)(41,8=2,2‾\frac{4}{1{,}8} = 2{,}\overline{2}, que redondeamos a 2,222{,}22 para la tabla.) Pasando al complementario:P(Z>2,22)=1−P(Z≤2,22)=1−0,9868=0,0132P(Z > 2{,}22) = 1 - P(Z \leq 2{,}22) = 1 - 0{,}9868 = 0{,}0132La probabilidad es 0,01320{,}0132: algo más del 1 %1\,\% de las niñas mide más de 5454 cm al nacer.
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b) Niñas, de 100100, con talla entre 48,248{,}2 y 51,851{,}8 cm.

Primero, la probabilidad de que una niña tenga esa talla, P(48,2≤X≤51,8)P(48{,}2 \leq X \leq 51{,}8). Tipificando los dos extremos:48,2−501,8=−1,81,8=−1,51,8−501,8=1,81,8=1\frac{48{,}2 - 50}{1{,}8} = \frac{-1{,}8}{1{,}8} = -1, \qquad \frac{51{,}8 - 50}{1{,}8} = \frac{1{,}8}{1{,}8} = 1P(48,2≤X≤51,8)=P(−1≤Z≤1)=P(Z≤1)−P(Z≤−1)P(48{,}2 \leq X \leq 51{,}8) = P(-1 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1)Por la simetría de la normal, P(Z≤−1)=1−P(Z≤1)P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1), así queP(−1≤Z≤1)=2 P(Z≤1)−1=2⋅0,8413−1=0,6826P(-1 \leq Z \leq 1) = 2\,P(Z \leq 1) - 1 = 2\cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826Número de niñas: de las 100100, se espera que tengan esa talla100⋅0,6826=68,26≈68 nin˜as100 \cdot 0{,}6826 = 68{,}26 \approx 68 \text{ niñas}
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Consejo

La corrección da 0,25 puntos por escribir qué probabilidad se pide y otros 0,25 por tipificar, en cada apartado: no te saltes esos pasos aunque te parezcan obvios.

La tabla da P(Z≤z)P(Z \leq z): para «más de» hay que restar de 11. En b) el número de niñas es un número entero; da 6868 (es un valor esperado, 68,2668{,}26), no una probabilidad.
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