Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Andalucía · 2026 · Reserva 4
Enunciado
Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). La estatura de los alumnos de un centro de Educación Secundaria sigue una distribución normal de media 172172 cm y desviación típica 77 cm.

a) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida entre 168168 y 180180 cm.

b) [1,25 puntos] ¿Cuánto mide al menos un alumno que está en el grupo del 5 %5\,\% de alumnos más altos?
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Resultado
  a)P(168<X<180)≈0,5886  \boxed{\;\text{a)}\quad P(168 < X < 180) \approx 0{,}5886\;}  b)k=172+7⋅1,645≈183,52 cm  \boxed{\;\text{b)}\quad k = 172 + 7\cdot 1{,}645 \approx 183{,}52 \text{ cm}\;}
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Estrategia

Llamamos XX a la estatura, X∼N(172,7)X \sim N(172, 7). La tabla solo da probabilidades de la normal estándar, así que todo pasa por tipificar: Z=X−1727∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 172}{7} \sim N(0, 1).
  • a) Es la probabilidad de un intervalo: se tipifican los dos extremos y se restan las probabilidades acumuladas. El extremo izquierdo da un zz negativo, que se resuelve por simetría.
  • b) Es el problema inverso: conocemos la probabilidad (5 %5\,\% por arriba, es decir, 95 %95\,\% por debajo) y buscamos la estatura. Se busca el zz en el interior de la tabla y se destipifica.
2

Desarrollo

a) P(168<X<180)P(168 < X < 180). Tipificando:P(168<X<180)=P(168−1727<Z<180−1727)=P(−47<Z<87)P(168 < X < 180) = P\left(\frac{168 - 172}{7} < Z < \frac{180 - 172}{7}\right) = P\left(-\frac{4}{7} < Z < \frac{8}{7}\right)Con dos decimales, −47≈−0,57-\frac{4}{7} \approx -0{,}57 y 87≈1,14\frac{8}{7} \approx 1{,}14:P(−0,57<Z<1,14)=P(Z≤1,14)−P(Z≤−0,57)P(-0{,}57 < Z < 1{,}14) = P(Z \leq 1{,}14) - P(Z \leq -0{,}57)Por la simetría de la normal, P(Z≤−0,57)=1−P(Z≤0,57)P(Z \leq -0{,}57) = 1 - P(Z \leq 0{,}57). De la tabla, P(Z≤1,14)=0,8729P(Z \leq 1{,}14) = 0{,}8729 y P(Z≤0,57)=0,7157P(Z \leq 0{,}57) = 0{,}7157:P(168<X<180)=0,8729−(1−0,7157)=0,8729−0,2843=0,5886P(168 < X < 180) = 0{,}8729 - (1 - 0{,}7157) = 0{,}8729 - 0{,}2843 = 0{,}5886Algo menos del 59 %59\,\% de los alumnos mide entre 168168 y 180180 cm. (Sin redondear los zz saldría 0,58960{,}5896; el resultado con la tabla es el que se espera.)
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b) Estatura mínima del 5 %5\,\% más alto. Buscamos kk tal queP(X≥k)=0,05  ⟺  P(X≤k)=0,95P(X \geq k) = 0{,}05 \;\Longleftrightarrow\; P(X \leq k) = 0{,}95Tipificando, P(Z≤k−1727)=0,95P\left(Z \leq \dfrac{k - 172}{7}\right) = 0{,}95. En el interior de la tabla, 0,950{,}95 no aparece: queda justo entre P(Z≤1,64)=0,9495P(Z \leq 1{,}64) = 0{,}9495 y P(Z≤1,65)=0,9505P(Z \leq 1{,}65) = 0{,}9505, a la misma distancia de ambos, así que tomamos el punto medio, z=1,645z = 1{,}645:k−1727=1,645  ⟹  k=172+7⋅1,645=172+11,515=183,515 cm\frac{k - 172}{7} = 1{,}645 \;\Longrightarrow\; k = 172 + 7\cdot 1{,}645 = 172 + 11{,}515 = 183{,}515 \text{ cm}Un alumno del 5 %5\,\% más alto mide al menos unos 183,52183{,}52 cm (con z=1,64z = 1{,}64 o 1,651{,}65 saldría 183,48183{,}48 o 183,55183{,}55 cm, también válidos).
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Consejo

En a), el zz del extremo izquierdo es negativo y la tabla no lo trae: usa P(Z≤−a)=1−P(Z≤a)P(Z \leq -a) = 1 - P(Z \leq a). Un error típico es sumar en vez de restar las dos probabilidades acumuladas.

En b) la tabla se lee «al revés»: se busca 0,950{,}95 dentro de la tabla, no en los márgenes. Y cuidado con la cola: el 5 %5\,\% más alto deja un 95 %95\,\% por debajo; buscar 0,050{,}05 da un zz negativo y una estatura por debajo de la media, que no tiene sentido.
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