Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

a) La parábola $y = x^2 - \pi^2$: abre hacia arriba, con vértice en $(0, -\pi^2) \approx (0; -9{,}87)$, y corta al eje $OX$ en $x = -\pi$ y $x = \pi$.

La función $f(x) = \cos(x/2)$: tiene periodo $4\pi$, máximo en $(0, 1)$ y se anula cuando $x/2 = \pm\pi/2$, es decir, en $x = \pm\pi$. Entre $-\pi$ y $\pi$ es positiva.

Puntos de corte. En $x = \pm\pi$ las dos valen $0$, así que se cortan en $(-\pi, 0)$ y $(\pi, 0)$. No hay más: dentro de $(-\pi, \pi)$ el coseno es positivo y la parábola negativa; fuera, la parábola es positiva y crece sin límite mientras que el coseno no pasa de $1$, y además el coseno es negativo entre $\pi$ y $3\pi$ (y entre $-3\pi$ y $-\pi$), y para $|x| \ge 3\pi$ la parábola ya vale más de $8\pi^2 > 1$.

El dibujo. Un recinto simétrico respecto del eje $OY$, que va de $x = -\pi$ a $x = \pi$: por arriba, el arco del coseno, que sube desde $(-\pi, 0)$ hasta $(0, 1)$ y baja hasta $(\pi, 0)$; por abajo, la parábola, que baja desde $(-\pi, 0)$ hasta su vértice $(0, -\pi^2)$ y sube hasta $(\pi, 0)$. Casi todo el recinto queda bajo el eje $OX$ (la parte de la parábola es mucho más honda que la altura del arco del coseno).

b) Planteamiento. Como $\cos(x/2) \ge x^2 - \pi^2$ en $[-\pi, \pi]$:$$\text{Área} = \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos\frac{x}{2} - (x^2 - \pi^2)\right]dx$$Primitiva. $\int \cos\frac{x}{2}\,dx = 2\operatorname{sen}\frac{x}{2}$, así que$$\int\left[\cos\frac{x}{2} - x^2 + \pi^2\right]dx = 2\operatorname{sen}\frac{x}{2} - \frac{x^3}{3} + \pi^2 x$$Regla de Barrow.$$G(\pi) = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{3} + \pi^3 = 2 + \frac{2\pi^3}{3}$$$$G(-\pi) = 2\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi^3}{3} - \pi^3 = -2 - \frac{2\pi^3}{3}$$$$\text{Área} = G(\pi) - G(-\pi) = 4 + \frac{4\pi^3}{3} \approx 45{,}34 \ \text{u}^2$$Comprobación por partes. El arco del coseno sobre el eje encierra $\int_{-\pi}^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx = 4$, y la parábola bajo el eje, $\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^2 - x^2)\,dx = 2\pi^3 - \frac{2\pi^3}{3} = \frac{4\pi^3}{3}$. Suman lo mismo ✓.