Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Enunciado

Calcula la integral

\int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2}\,dx,

explicando los pasos realizados.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2}\,dx = x + \ln|x - 2| - 2\ln|x + 1| + C = x + \ln\frac{|x - 2|}{(x + 1)^2} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional, y el plan tiene siempre los mismos pasos:

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que primero se divide: el integrando queda como un polinomio (aquí, el cociente $1$ ) más una fracción propia.
Se factoriza el denominador ( $x^2 - x - 2$ tiene dos raíces reales simples) y la fracción propia se descompone en fracciones simples.
Cada sumando es inmediato: el polinomio da $x$ y cada fracción simple, un logaritmo.

El enunciado pide explicar los pasos: hay que decir qué se hace en cada uno.

Desarrollo

Paso 1: división. Como los grados son iguales, dividimos

x^2 - 2x + 3

entre

x^2 - x - 2

. El cociente es

1

y el resto,

x^2 - 2x + 3 - (x^2 - x - 2) = -x + 5

así que

\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2} = 1 + \frac{-x + 5}{x^2 - x - 2}

Paso 2: factorizar el denominador.

x^2 - x - 2 = 0

tiene raíces

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

, es decir,

x = 2

x = -1

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Paso 3: fracciones simples. Buscamos

A

B

tales que

\frac{-x + 5}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} \;\Longrightarrow\; -x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2)

Dando a

x

los valores de las raíces:

$x = 2$ : $\;3 = 3A \;\Longrightarrow\; A = 1$ .
$x = -1$ : $\;6 = -3B \;\Longrightarrow\; B = -2$ .

Comprobación.

(x + 1) - 2(x - 2) = -x + 5

✓.

Paso 4: integrar término a término.

\int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2}\,dx = \int \left(1 + \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}\right)dx = x + \ln|x - 2| - 2\ln|x + 1| + C

Forma compacta. Con las propiedades de los logaritmos:

x + \ln\frac{|x - 2|}{(x + 1)^2} + C

Comprobación derivando.

\left(x + \ln|x - 2| - 2\ln|x + 1|\right)' = 1 + \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}

, que es justo la descomposición del integrando ✓.

Consejo

Antes de descomponer en fracciones simples mira los grados: si el del numerador no es menor que el del denominador, hay que dividir primero (aquí, sin dividir, la descomposición sale mal). No olvides los valores absolutos en los logaritmos ni la constante $C$ , y como piden explicar los pasos, escribe una frase en cada uno: esa explicación también puntúa.

Paso 1 de 3

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