Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

También trata: Vectores y ángulos

Enunciado

Sea

r

la recta que pasa por el punto

P(1, 7, 4)

y cuyo vector director es

\vec v = (6, 3, -5)

y sea

\pi \equiv 2x + y - 3z = -13

.

a) Calcula el punto de corte de la recta

r

con el plano

\pi

. (1 punto)

b) Calcula el ángulo mínimo formado por la recta

r

y el plano

\pi

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Q = \left(-1,\ 6,\ \dfrac{17}{3}\right)

(con

t = -\frac{1}{3}

).

b)

\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{3\sqrt{5}}{7} \approx 0{,}9583

, así que el ángulo entre

r

\pi

\alpha \approx 73{,}40^\circ

(el que forman

\vec v

\vec n

16{,}60^\circ

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Escribimos $r$ en paramétricas, un punto genérico, y lo sustituimos en la ecuación del plano: sale una ecuación de primer grado en el parámetro.
b) El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del ángulo entre el director de la recta y el normal del plano. Por eso, en vez del coseno, se usa directamente el seno:

\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}

Desarrollo

a) Paramétricas de $r$ .

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 6t \\ y = 7 + 3t \\ z = 4 - 5t \end{cases}

Sustitución en $\pi$ .

2(1 + 6t) + (7 + 3t) - 3(4 - 5t) = -13

2 + 12t + 7 + 3t - 12 + 15t = -13 \;\Longrightarrow\; 30t - 3 = -13 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{3}

Punto de corte.

Q = \left(1 - 2,\ 7 - 1,\ 4 + \frac{5}{3}\right) = \left(-1,\ 6,\ \frac{17}{3}\right)

Comprobación.

2(-1) + 6 - 3\cdot\frac{17}{3} = -2 + 6 - 17 = -13

✓.

b) Vectores.

\vec v = (6, 3, -5)

y el normal de

\pi

\vec n = (2, 1, -3)

\vec v\cdot\vec n = 12 + 3 + 15 = 30, \qquad |\vec v| = \sqrt{36 + 9 + 25} = \sqrt{70}, \qquad |\vec n| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}

Ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$ . Llamamos

\beta

a ese ángulo:

\cos\beta = \frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} = \frac{30}{\sqrt{70}\,\sqrt{14}} = \frac{30}{14\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{7} \approx 0{,}9583 \;\Longrightarrow\; \beta \approx 16{,}60^\circ

Ángulo recta-plano. Es el complementario,

\alpha = 90^\circ - \beta

(equivalentemente,

\operatorname{sen}\alpha = \cos\beta

\alpha = \operatorname{arcsen}\frac{3\sqrt{5}}{7} \approx 90^\circ - 16{,}60^\circ = 73{,}40^\circ

Sentido del resultado. El director de la recta forma solo unos 17° con el normal: la recta está casi perpendicular al plano, así que el ángulo con el plano es grande, unos 73°.

Consejo

El fallo típico del apartado b) es dar el ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$ ( $16{,}6^\circ$ ) como si fuera el de la recta con el plano. Recuerda: director con normal → seno, o calcula $\beta$ con el coseno y resta de $90^\circ$ . Pon el valor absoluto del producto escalar para quedarte siempre con el ángulo agudo, que es el «mínimo» que se pide.