Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Punto de corte de $r_1$ y $r_2$. Igualamos coordenada a coordenada:$$\begin{cases} 1 + t = s \\ 0 = -1 + s \\ -t = 0 \end{cases}$$La segunda da $s = 1$ y la tercera $t = 0$; la primera se cumple: $1 + 0 = 1$ ✓. Las rectas se cortan, y con $t = 0$ en $r_1$ (o $s = 1$ en $r_2$):$$P = (1, 0, 0)$$Recta perpendicular al plano por $P$. El plano $\pi \equiv 2x + y - z = 3$ tiene vector normal $\vec n = (2, 1, -1)$, que será el director de la recta:$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$Proyección $M$ de $P$ sobre el plano. Sustituimos $r$ en $\pi$:$$2(1 + 2\lambda) + \lambda - (-\lambda) = 3 \;\Longrightarrow\; 2 + 6\lambda = 3 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{1}{6}$$$$M = \left(1 + \frac{2}{6},\ \frac{1}{6},\ -\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{4}{3},\ \frac{1}{6},\ -\frac{1}{6}\right)$$Simétrico. $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, así que $P' = 2M - P$:$$P' = \left(\frac{8}{3} - 1,\ \frac{2}{6} - 0,\ -\frac{2}{6} - 0\right) = \left(\frac{5}{3},\ \frac{1}{3},\ -\frac{1}{3}\right)$$(Equivale a tomar $\lambda = 2\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ en la recta $r$: el doble de camino que hasta el plano.)

Comprobación. $P$ y $P'$ deben estar a la misma distancia del plano y a lados opuestos. En $P$: $2 + 0 - 0 - 3 = -1$. En $P'$: $\frac{10}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - 3 = 4 - 3 = 1$. Valores opuestos ✓, y ambos dan $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$.