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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Enunciado

Se ha realizado un estudio de la venta de coches del año 2025 en España. De un total de 1.148.650 unidades vendidas, el 10 % corresponde a coches totalmente eléctricos, siendo todos ellos de cambio automático; el 52 % de las unidades vendidas corresponde a coches híbridos, siendo de cambio manual el 6 % de ellos; del resto de unidades vendidas, tienen cambio automático el 53 % de ellos.

a) Calcula la cantidad de coches con cambio automático vendidos en España en 2025. (1 punto)

b) Elegido al azar un coche vendido en España en 2025 y sabiendo que tiene cambio automático, calcula la probabilidad de que sea híbrido. (1 punto)

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Resultado

P(A) = 0{,}7902

, así que se vendieron unos

907\,663

coches con cambio automático.

b)

P(H\mid A) = \dfrac{0{,}4888}{0{,}7902} \approx 0{,}6186

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Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero el tipo de coche (eléctrico, híbrido u otro) y luego el cambio (automático o manual). Lo ordenamos en un árbol, sacando de los datos lo que no se dice directamente: los «otros» son el

100 - 10 - 52 = 38\,\%

y, entre los híbridos, si el

6\,\%

es manual, el

94\,\%

es automático.

En a) se pide un total de automáticos: es la probabilidad total de ser automático, multiplicada por el número de coches vendidos.
En b) se conoce el efecto (automático) y se pregunta por la causa (híbrido): Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

E

= totalmente eléctrico,

H

= híbrido,

R

= de otro tipo;

A

= cambio automático,

M

= cambio manual.

Probabilidades del primer nivel.

P(E) = 0{,}10, \qquad P(H) = 0{,}52, \qquad P(R) = 1 - 0{,}10 - 0{,}52 = 0{,}38

Probabilidades condicionadas del segundo nivel.

P(A\mid E) = 1, \qquad P(A\mid H) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94, \qquad P(A\mid R) = 0{,}53

Árbol. Del origen salen tres ramas:

E

(0,10),

H

(0,52) y

R

(0,38). De

E

salen

A

(1) y

M

(0); de

H

A

(0,94) y

M

(0,06); de

R

A

(0,53) y

M

(0,47).

a) Probabilidad total de cambio automático.

P(A) = P(A\mid E)P(E) + P(A\mid H)P(H) + P(A\mid R)P(R)

P(A) = 1\cdot 0{,}10 + 0{,}94\cdot 0{,}52 + 0{,}53\cdot 0{,}38 = 0{,}10 + 0{,}4888 + 0{,}2014 = 0{,}7902

Número de coches automáticos. El

79{,}02\,\%

de los vendidos:

0{,}7902\cdot 1\,148\,650 = 907\,663{,}23 \approx 907\,663 \text{ coches}

(El decimal aparece porque los porcentajes del enunciado están redondeados: el

94\,\%

de los

597\,298

híbridos no da un número entero.)

b) Bayes.

P(H\mid A) = \frac{P(A\mid H)\,P(H)}{P(A)} = \frac{0{,}94\cdot 0{,}52}{0{,}7902} = \frac{0{,}4888}{0{,}7902} \approx 0{,}6186

Interpretación. Casi dos de cada tres coches automáticos vendidos en 2025 son híbridos.

Consejo

Dibuja el árbol (o una tabla): el resumen de los datos tiene puntuación propia. Ojo con los datos escondidos: el porcentaje de «otros» ( $38\,\%$ ) y el de híbridos automáticos ( $94\,\%$ ) no se dan, hay que deducirlos. Y en a) no te quedes en la probabilidad: se pide una cantidad de coches.