Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

a) Derivada.$$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$La tangente pasa por $(0, f(0))$. En $x = 0$ la recta vale $y = 3$, así que$$f(0) = C = 3$$La pendiente de la tangente es $f'(0)$. La recta $y = 3 - 3x$ tiene pendiente $-3$:$$f'(0) = B = -3$$Extremo relativo en $x = 1$. $f$ es un polinomio, derivable en todo $\mathbb{R}$, así que en un extremo relativo su derivada se anula:$$f'(1) = 3 + 2A + B = 0 \;\Longrightarrow\; 3 + 2A - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; A = 0$$Comprobación. Con $A = 0$, $B = -3$, $C = 3$: $f(x) = x^3 - 3x + 3$, $f(0) = 3$ y $f'(0) = -3$, así que la tangente en $x = 0$ es $y - 3 = -3(x - 0)$, es decir, $y = 3 - 3x$ ✓.

b) Derivada segunda.$$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f''(x) = 6x$$Signo en $x = 1$. $f''(1) = 6 > 0$: la función es convexa (curvada hacia arriba) en ese punto, así que el extremo es un mínimo relativo. Su valor es $f(1) = 1 - 3 + 3 = 1$.

Otra forma. $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ es negativa justo a la izquierda de $1$ (entre $-1$ y $1$) y positiva a la derecha: $f$ pasa de decrecer a crecer, y eso es un mínimo.