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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Enunciado

Una central lechera recoge leche de tres productores locales, A, B y C. El productor A lleva su leche en recipientes de 10 litros y se le paga a 5 € por cada recipiente. La productora B utiliza recipientes de 15 litros y recibe 9 € por cada recipiente. Por último, la productora C aporta recipientes de 12 litros y se le paga a 4 € por cada uno. En la última semana, se han recogido un total de 612 litros de leche, en 48 recipientes y se debe pagar en total 304 €, a repartir entre los tres ganaderos.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita. (1 punto)

b) ¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana? (1 punto)

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Resultado

a) Con

x

y

z

los recipientes de A, B y C:

10x + 15y + 12z = 612

x + y + z = 48

5x + 9y + 4z = 304

.

b)

x = 12

y = 20

z = 16

recipientes: hay que pagar 60 € al productor A, 180 € a la productora B y 64 € a la productora C.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La pregunta es «cuánto dinero», pero lo que conviene contar son los recipientes: si sabemos cuántos ha llevado cada productor, el pago sale multiplicando por lo que cobra cada uno por recipiente.

Llamamos

x

y

z

a los recipientes de A, B y C. El enunciado da tres totales (litros, recipientes y euros), y cada uno es una ecuación: litros por recipiente, uno por recipiente y euros por recipiente. Queda un sistema

3\times 3

que resolvemos por Gauss, empezando con la ecuación más sencilla (

x + y + z = 48

) como pivote.

Desarrollo

a) Incógnitas.

x

= recipientes del productor A,

y

= recipientes de la productora B,

z

= recipientes de la productora C (números naturales).

Litros. Cada recipiente de A lleva 10 L, de B 15 L y de C 12 L:

10x + 15y + 12z = 612

Recipientes.

x + y + z = 48

Dinero. A cobra 5 € por recipiente, B 9 € y C 4 €:

5x + 9y + 4z = 304

El sistema.

\begin{cases} x + y + z = 48 \\ 10x + 15y + 12z = 612 \\ 5x + 9y + 4z = 304 \end{cases}

b) Gauss. Con la primera ecuación como pivote:

E_2 - 10E_1

E_3 - 5E_1

\begin{cases} x + y + z = 48 \\ 5y + 2z = 132 \\ 4y - z = 64 \end{cases}

Despejamos $z$ en la tercera.

z = 4y - 64

. Sustituyendo en la segunda:

5y + 2(4y - 64) = 132 \;\Longrightarrow\; 13y = 260 \;\Longrightarrow\; y = 20

Entonces

z = 4\cdot 20 - 64 = 16

x = 48 - 20 - 16 = 12

.

Comprobación. Litros:

10\cdot 12 + 15\cdot 20 + 12\cdot 16 = 120 + 300 + 192 = 612

✓. Euros:

5\cdot 12 + 9\cdot 20 + 4\cdot 16 = 60 + 180 + 64 = 304

✓.

Lo que cobra cada uno. Es la tercera ecuación desglosada:

Productor A: $12$ recipientes a 5 € son 60 €.
Productora B: $20$ recipientes a 9 € son 180 €.
Productora C: $16$ recipientes a 4 € son 64 €.

Suman 304 €, como debía ser.

Consejo

El planteamiento vale la mitad del ejercicio: di siempre qué significa cada incógnita (aquí, recipientes, no litros ni euros). Y no te quedes en $x = 12$ , $y = 20$ , $z = 16$ : la pregunta es cuánto se paga a cada productor, y ese último paso también puntúa.