Derivadas y aplicaciones

La derivada es $f'(x) = 2x + b$.

a) Sea $x_0$ el punto de tangencia. Deben cumplirse:$$\left\{\begin{array}{l} f'(x_0) = 1 \;\Longrightarrow\; 2x_0 + b = 1 \\ f(x_0) = x_0 - 1 \;\Longrightarrow\; x_0^2 + b\,x_0 = x_0 - 1 \end{array}\right.$$De la primera, $b = 1 - 2x_0$. Sustituyendo en la segunda:$$x_0^2 + (1 - 2x_0)\,x_0 = x_0 - 1 \;\Longrightarrow\; x_0^2 + x_0 - 2x_0^2 = x_0 - 1 \;\Longrightarrow\; -x_0^2 = -1 \;\Longrightarrow\; x_0 = \pm 1$$

• Si $x_0 = 1$: $b = 1 - 2 = -1$.
• Si $x_0 = -1$: $b = 1 + 2 = 3$.

Comprobación.

• $b = -1$: $f(x) = x^2 - x$, $f(1) = 0$ y $f'(1) = 1$. La tangente en $x = 1$ es $y = 0 + 1\cdot(x - 1) = x - 1$ ✓.
• $b = 3$: $f(x) = x^2 + 3x$, $f(-1) = -2$ y $f'(-1) = 1$. La tangente en $x = -1$ es $y = -2 + (x + 1) = x - 1$ ✓.

Otra forma de verlo: la recta corta a la parábola donde $x^2 + bx = x - 1$, es decir, $x^2 + (b - 1)x + 1 = 0$. Para ser tangente, el punto de corte debe ser doble: discriminante nulo, $(b - 1)^2 - 4 = 0$, luego $b - 1 = \pm 2$ y $b = 3$ o $b = -1$, como antes.

b) Sí, es cierto. Una tangente es paralela a $y = x - 1$ si tiene pendiente $1$, es decir, en los puntos donde$$f'(x) = 2x + b = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{1 - b}{2}$$Esta ecuación tiene solución (y una sola) para cualquier $b \in \mathbb{R}$, porque es de primer grado con coeficiente $2 \neq 0$; y $f$, al ser un polinomio, es derivable en todo $\mathbb{R}$, así que en ese punto hay recta tangente. Por tanto, para todo $b$ existe una tangente de pendiente $1$: la que pasa por el punto de abscisa $x_1 = \frac{1 - b}{2}$.

Por ejemplo, con $b = 0$, $x_1 = \frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$ y la tangente es $y = x - \frac{1}{4}$, paralela a $y = x - 1$.

Matiz: para $b = -1$ y $b = 3$ (los de a)) esa tangente de pendiente $1$ es justo la recta $y = x - 1$, es decir, coincide con ella (paralela en sentido amplio). Para cualquier otro $b$ es una paralela distinta.