Sea la función f(x) = \begin{cases} 3x^2 - \operatorname{sen}(ax) + b & \text{si } x < 0 \\[4pt] \dfrac{2e^x}{1 + x^2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}. a) (1 punto) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0. b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2.

Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2026 · Junio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \begin{cases} 3x^2 - \operatorname{sen}(ax) + b & \text{si } x < 0 \\[4pt] \dfrac{2e^x}{1 + x^2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.

a) (1 punto) Calcule los valores de

a

b

para que la función sea continua y derivable en

x = 0

.

b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = -2, \quad b = 2}

\boxed{\text{b)}\ y - \frac{2e^2}{5} = \frac{2e^2}{25}(x - 2) \iff y = \frac{2e^2}{25}(x + 3)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es una función derivable en su intervalo (polinomio y seno a la izquierda; cociente de funciones derivables con denominador

1 + x^2 > 0

a la derecha), así que el único punto delicado es

x = 0

.

En a) imponemos primero la continuidad (los límites laterales coinciden con

f(0)

), que fija

b

, y luego la derivabilidad (las derivadas laterales coinciden), que fija

a

. El orden importa: sin continuidad no hay derivabilidad.

En b)

x = 2

cae en el trozo de la derecha, así que no dependemos de

a

ni de

b

: calculamos

f(2)

f'(2)

y usamos la ecuación punto-pendiente.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

f(0) = \frac{2e^0}{1 + 0} = 2, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2, \qquad \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}\bigl(3x^2 - \operatorname{sen}(ax) + b\bigr) = b.

f

es continua en

x = 0

si y solo si

b = 2

.

Derivabilidad en $x = 0$ . Para

x \neq 0

f'(x) = \begin{cases} 6x - a\cos(ax) & \text{si } x < 0 \\[4pt] \dfrac{2e^x(1 + x^2) - 2e^x\cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \dfrac{2e^x(x - 1)^2}{(1 + x^2)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Con

b = 2

la función es continua en

0

y las derivadas laterales son los límites laterales de

f'

f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-}\bigl(6x - a\cos(ax)\bigr) = -a, \qquad f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+}\frac{2e^x(x - 1)^2}{(1 + x^2)^2} = 2.

f

es derivable en

x = 0

si y solo si

-a = 2

, es decir,

a = -2

.

Comprobación. Con

a = -2

b = 2

, el trozo izquierdo es

3x^2 - \operatorname{sen}(-2x) + 2 = 3x^2 + \operatorname{sen}(2x) + 2

, que vale

2

x = 0

y cuya derivada,

6x + 2\cos(2x)

, vale

2

x = 0

: coincide con el trozo derecho en valor y en pendiente ✓.

b) Como

2 > 0

, usamos el trozo

f(x) = \dfrac{2e^x}{1 + x^2}

f(2) = \frac{2e^2}{1 + 4} = \frac{2e^2}{5}, \qquad f'(2) = \frac{2e^2(2 - 1)^2}{(1 + 4)^2} = \frac{2e^2}{25}.

Recta tangente en

x = 2

y - \frac{2e^2}{5} = \frac{2e^2}{25}\,(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = \frac{2e^2}{25}\,x - \frac{4e^2}{25} + \frac{10e^2}{25} = \frac{2e^2}{25}\,(x + 3).

Comprobación. En

x = 2

la recta da

\dfrac{2e^2}{25}\cdot 5 = \dfrac{2e^2}{5} = f(2)

✓. Numéricamente,

f(2) \approx 2{,}956

y la pendiente es

\approx 0{,}591

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Plantea la continuidad antes que la derivabilidad: la corrección puntúa por separado los dos planteamientos, y calcular derivadas laterales de una función que no es continua no sirve.

Al derivar $\operatorname{sen}(ax)$ no olvides la regla de la cadena: sale $a\cos(ax)$ , y con el signo menos del enunciado, $f'(0^-) = -a$ . Si se te escapa la $a$ , no puedes despejarla.