Derivadas y aplicaciones

La función a trozos. El polinomio se factoriza como $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$: es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Así,$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 - 6x + 5 & \text{si } x \le 1 \text{ o } x \ge 5 \\ -x^2 + 6x - 5 & \text{si } 1 < x < 5 \end{array}\right.$$Es continua en $\mathbb{R}$ (valor absoluto de un polinomio).

a) Derivando cada trozo (en los abiertos):$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x - 6 & \text{si } x < 1 \text{ o } x > 5 \\ -2x + 6 & \text{si } 1 < x < 5 \end{array}\right.$$En los puntos de unión, las derivadas laterales no coinciden:$$f'(1^-) = 2 - 6 = -4, \quad f'(1^+) = -2 + 6 = 4; \qquad f'(5^-) = -10 + 6 = -4, \quad f'(5^+) = 10 - 6 = 4$$luego $f$ no es derivable en $x = 1$ ni en $x = 5$ (puntos angulosos). Los candidatos a extremo son esos dos puntos y los que anulan la derivada:

• En $x < 1$: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$, que no está en ese tramo.
• En $1 < x < 5$: $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ ✓.
• En $x > 5$: $x = 3$ tampoco está.

Signo de $f'$:(Por ejemplo $f'(0) = -6$, $f'(2) = 2$, $f'(4) = -2$, $f'(6) = 6$.)

Como $f$ es continua, el cambio de signo basta para decidir:

• En $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, $f(1) = |1 - 6 + 5| = 0$.
• En $x = 3$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, $f(3) = |9 - 18 + 5| = |-4| = 4$.
• En $x = 5$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, $f(5) = |25 - 30 + 5| = 0$.

(Los dos mínimos son además absolutos, porque $f(x) \ge 0$ siempre.)

b) En $[3, 6]$ la función es no negativa, así que el área es $\displaystyle\int_3^6 f(x)\,dx$, partida en $x = 5$:$$A = \int_3^5 (-x^2 + 6x - 5)\,dx + \int_5^6 (x^2 - 6x + 5)\,dx$$Primer tramo, con la primitiva $F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x$:$$F(5) = -\frac{125}{3} + 75 - 25 = \frac{25}{3}, \qquad F(3) = -9 + 27 - 15 = 3 \;\Longrightarrow\; \int_3^5 = \frac{25}{3} - 3 = \frac{16}{3}$$Segundo tramo, con $G(x) = \dfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x$:$$G(6) = 72 - 108 + 30 = -6, \qquad G(5) = \frac{125}{3} - 75 + 25 = -\frac{25}{3} \;\Longrightarrow\; \int_5^6 = -6 + \frac{25}{3} = \frac{7}{3}$$Sumando:$$A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 \ \text{u}^2$$Comprobación. Los dos trozos salen positivos, como deben (la función va por encima del eje en todo el intervalo). Y es razonable: en $[3, 5]$ la función baja de $4$ a $0$ (área algo mayor que la del triángulo, $\frac{2\cdot 4}{2} = 4$, porque la parábola es cóncava) y en $[5, 6]$ sube de $0$ a $f(6) = 5$ (algo menos que el triángulo, $2{,}5$, porque es convexa): $5{,}33$ y $2{,}33$ encajan.