Distribución normal

a) Sea $Y$ = número de hogares, de los $10$, que no clasifican correctamente. Cada hogar falla con probabilidad $p = 0{,}175$, de forma independiente, luego$$Y \sim B(10;\ 0{,}175), \qquad P(Y = k) = \binom{10}{k}\,0{,}175^{k}\,0{,}825^{10-k}$$«A lo sumo uno» es $Y \le 1$:$$P(Y \le 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) = 0{,}825^{10} + \binom{10}{1}\,0{,}175 \cdot 0{,}825^{9}$$$$= 0{,}14606 + 10 \cdot 0{,}175 \cdot 0{,}17705 = 0{,}14606 + 0{,}30983 \approx 0{,}4559$$(Es lo mismo que contar los que sí clasifican bien, $X \sim B(10;\ 0{,}825)$, y pedir $P(X \ge 9)$.)

b) Sea ahora $X$ = número de hogares, de los $200$, que cometen errores:$$X \sim B(200;\ 0{,}175), \qquad \mu = np = 200 \cdot 0{,}175 = 35, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot 0{,}175 \cdot 0{,}825} = \sqrt{28{,}875} \approx 5{,}37$$Como $np = 35 \ge 5$ y $nq = 165 \ge 5$, se puede aproximar por $X' \sim N(35;\ 5{,}37)$.

El suceso. El barrio es penalizado si $\frac{X}{200} \ge 0{,}10$, es decir, si $X \ge 20$. No es sancionado si $X \le 19$. Con la corrección de Yates (el valor entero $19$ ocupa el intervalo $[18{,}5;\ 19{,}5]$):$$P(X \le 19) \approx P(X' \le 19{,}5) = P\left(Z \le \frac{19{,}5 - 35}{5{,}37}\right) = P(Z \le -2{,}88)$$Por simetría de la normal y la tabla:$$P(Z \le -2{,}88) = 1 - P(Z \le 2{,}88) = 1 - 0{,}9980 = 0{,}0020$$La probabilidad de que Ueno no sea sancionado es de solo un $0{,}2\,\%$.

Sobre el redondeo: con $\sigma = \sqrt{28{,}875}$ sin redondear, $z = -2{,}8845$, que se lleva a $-2{,}88$. Si se usa $\sigma = 5{,}37$ ya redondeada, sale $z = -2{,}886 \approx -2{,}89$ y $P = 1 - 0{,}9981 = 0{,}0019$. Las dos respuestas se dan por buenas.

Interpretación. Tiene sentido que sea tan pequeña: en el barrio se equivoca el $17{,}5\,\%$ de los hogares, muy por encima del límite del $10\,\%$; lo esperable en la muestra son $35$ hogares con errores, y bajar de $20$ está casi tres desviaciones típicas por debajo de la media.