Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Distribución normal

También trata: Probabilidad
Comunidad de Madrid · 2026 · Junio
Enunciado
El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media μ=24\mu = 24 horas y desviación típica σ=3\sigma = 3 horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 2121 horas.

a) (1 punto) Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa.

b) (1 punto) Un distribuidor recibe un lote de 1010 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos 99 teléfonos con la batería no defectuosa?
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Resultado
a) P(X<21)=P(Z<−1)=0,1587\boxed{\text{a)}\ P(X < 21) = P(Z < -1) = 0{,}1587}b) Y∼B(10; 0,8413): P(Y≥9)=0,841310+10⋅0,84139⋅0,1587≈0,5127\boxed{\text{b)}\ Y \sim B(10;\ 0{,}8413):\ P(Y \geq 9) = 0{,}8413^{10} + 10\cdot 0{,}8413^{9}\cdot 0{,}1587 \approx 0{,}5127}
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Estrategia

En a) es una normal de manual: tipificamos para pasar a la N(0,1)N(0, 1) y, como el valor sale negativo, usamos la simetría de la campana para leer la tabla.

En b) cambia el modelo: ahora contamos cuántos teléfonos de 10 cumplen algo, con independencia y la misma probabilidad para todos. Eso es una binomial, con la probabilidad de éxito sacada del apartado a). «Al menos 9» significa 9 o 10, así que sumamos dos términos.
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Desarrollo

a) Sea XX la duración de una batería, X∼N(24,3)X \sim N(24, 3). La batería es defectuosa si X<21X < 21. Tipificando con Z=X−243∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 24}{3} \sim N(0, 1):P(X<21)=P(Z<21−243)=P(Z<−1).P(X < 21) = P\left(Z < \frac{21 - 24}{3}\right) = P(Z < -1).Por la simetría de la normal,P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z≤1)=1−0,8413=0,1587.P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587.La probabilidad de que la batería sea defectuosa es p=0,1587p = 0{,}1587 (un 15,87 %).

b) Sea YY el número de teléfonos del lote con la batería no defectuosa. Cada teléfono es un ensayo independiente con probabilidad de éxito («no defectuosa»)q=1−0,1587=0,8413,q = 1 - 0{,}1587 = 0{,}8413,así que Y∼B(10; 0,8413)Y \sim B(10;\ 0{,}8413). Nos pidenP(Y≥9)=P(Y=9)+P(Y=10).P(Y \geq 9) = P(Y = 9) + P(Y = 10).Con la fórmula de la binomial P(Y=k)=(10k)qk(1−q)10−kP(Y = k) = \binom{10}{k} q^k (1 - q)^{10 - k}:P(Y=10)=(1010) 0,841310≈0,1776P(Y = 10) = \binom{10}{10}\, 0{,}8413^{10} \approx 0{,}1776P(Y=9)=(109) 0,84139⋅0,1587=10⋅0,84139⋅0,1587≈0,3351P(Y = 9) = \binom{10}{9}\, 0{,}8413^{9}\cdot 0{,}1587 = 10\cdot 0{,}8413^{9}\cdot 0{,}1587 \approx 0{,}3351P(Y≥9)≈0,1776+0,3351=0,5127.P(Y \geq 9) \approx 0{,}1776 + 0{,}3351 = 0{,}5127.Comprobación. Es lo mismo que decir que en el lote hay como mucho una batería defectuosa: con W∼B(10; 0,1587)W \sim B(10;\ 0{,}1587) el número de defectuosas, P(W≤1)=P(W=0)+P(W=1)P(W \leq 1) = P(W = 0) + P(W = 1), que son exactamente los dos términos de arriba. ✓
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En b) muchos alumnos siguen con la normal. En cuanto el enunciado pregunta cuántos de nn cumplen algo, con independencia y probabilidad fija, es una binomial: di cuál es, con sus dos parámetros nn y pp, porque la corrección lo puntúa aparte.

Cuidado con qué llamas «éxito»: aquí se cuentan las no defectuosas, así que p=0,8413p = 0{,}8413. Si cuentas las defectuosas, el suceso pasa a ser «como mucho 1». Y no olvides el término (109)=10\binom{10}{9} = 10.
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