Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio que verifican P(\overline{A}) = 0{,}6, P(A \cup B) = 0{,}75 y P(B \mid A) = 0{,}375. Se pide: a) (1 punto) Calcular P(B). b) (1 punto) Calcular P(\overline{A} \mid B).

Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1

Enunciado

Se consideran los sucesos

A

B

de un experimento aleatorio que verifican

P(\overline{A}) = 0{,}6

P(A \cup B) = 0{,}75

P(B \mid A) = 0{,}375

. Se pide:

a) (1 punto) Calcular

P(B)

.

b) (1 punto) Calcular

P(\overline{A} \mid B)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P(B) = 0{,}5\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(\overline{A} \mid B) = 0{,}7\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de tres fórmulas básicas: la del complementario, la de la probabilidad condicionada y la de la unión. El orden es el natural: con el complementario sacamos

P(A)

; con la condicionada, la intersección

P(A \cap B)

; y con la fórmula de la unión despejamos

P(B)

, que es la única incógnita que queda.

En b) volvemos a la definición de condicionada, ahora «sabiendo

B

». Lo que hace falta es

P(\overline{A} \cap B)

, que es la parte de

B

que no está en

A

P(B) - P(A \cap B)

Desarrollo

a) Del complementario:

P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4

De la definición de probabilidad condicionada:

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \;\Longrightarrow\; P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B \mid A) = 0{,}4 \cdot 0{,}375 = 0{,}15

Y de la probabilidad de la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \;\Longrightarrow\; 0{,}75 = 0{,}4 + P(B) - 0{,}15

P(B) = 0{,}75 - 0{,}4 + 0{,}15 = 0{,}5

b) El suceso

\overline{A} \cap B

(«ocurre

B

pero no

A

») es

B

menos su parte común con

A

P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}35

Por tanto

P(\overline{A} \mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}35}{0{,}5} = 0{,}7

Comprobación. Con estos valores,

P(A \mid B) = \frac{0{,}15}{0{,}5} = 0{,}3

, y

P(A \mid B) + P(\overline{A} \mid B) = 0{,}3 + 0{,}7 = 1

✓. También cuadra el reparto de la unión: solo

A

0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}25

; los dos,

0{,}15

; solo

B

0{,}35

; total

0{,}75 = P(A \cup B)

✓.

En el árbol de la simulación:

P(B \mid \overline{A}) = \frac{0{,}35}{0{,}6} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(B \mid A)$ con $P(A \cap B)$ : el dato $0{,}375$ es una condicionada y hay que multiplicarlo por $P(A)$ (no por $P(\overline{A})$ , que es lo que da el enunciado) para obtener la intersección.

En b), $P(\overline{A} \cap B)$ no es $P(\overline{A})\cdot P(B)$ : eso solo vale si los sucesos son independientes, y aquí no lo son ( $0{,}15 \neq 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$ ).

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