Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Junio

Enunciado

Sabiendo que

P(B) = 0{,}4

P(\overline{A \cup B}) = 0{,}4

P(B \mid A) = 0{,}2

, calcule las siguientes probabilidades:

a) (1 punto)

P(\overline{A})

P(A \cap B)

.

b) (1 punto)

P\bigl((A \cap B) \mid (A \cup B)\bigr)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(\overline{A}) = 0{,}75, \qquad P(A \cap B) = 0{,}05}

\boxed{\text{b)}\ P\bigl((A \cap B) \mid (A \cup B)\bigr) = \frac{0{,}05}{0{,}6} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tenemos tres datos y dos incógnitas que se tiran de la mano:

P(A)

P(A \cap B)

. La definición de probabilidad condicionada da la primera ecuación,

P(A \cap B) = P(B \mid A)\,P(A)

, y la fórmula de la unión da la segunda (la unión la sacamos del complementario que nos dan). Resolvemos y listo.

En b) aplicamos otra vez la definición de condicionada. Hay un detalle que simplifica mucho:

A \cap B

está dentro de

A \cup B

, así que su intersección es el propio

A \cap B

Desarrollo

a) Del complementario de la unión:

P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.

Por la definición de probabilidad condicionada:

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \;\Longrightarrow\; P(A \cap B) = 0{,}2\,P(A).

Llevamos las dos cosas a la fórmula de la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \;\Longrightarrow\; 0{,}6 = P(A) + 0{,}4 - 0{,}2\,P(A)

0{,}8\,P(A) = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; P(A) = 0{,}25.

Por tanto,

P(\overline{A}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75, \qquad P(A \cap B) = 0{,}2\cdot 0{,}25 = 0{,}05.

Comprobación.

P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}25 + 0{,}4 - 0{,}05 = 0{,}6 = P(A \cup B)

✓ y

\dfrac{0{,}05}{0{,}25} = 0{,}2 = P(B \mid A)

✓. Además,

P(A \cap B) = 0{,}05 \leq \min\{P(A), P(B)\}

, como debe ser.

b) Como

A \cap B \subset A \cup B

, se cumple

(A \cap B) \cap (A \cup B) = A \cap B

. Entonces

P\bigl((A \cap B) \mid (A \cup B)\bigr) = \frac{P\bigl((A \cap B) \cap (A \cup B)\bigr)}{P(A \cup B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{0{,}05}{0{,}6} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833.

Comprobación con un árbol. Partiendo de

A

\overline{A}

P(A) = 0{,}25

con

P(B \mid A) = 0{,}2

; y

P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}35

, luego

P(B \mid \overline{A}) = \dfrac{0{,}35}{0{,}75} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}4667

. La probabilidad total da

P(B) = 0{,}05 + 0{,}35 = 0{,}4

, el dato del enunciado ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien la barra: $P(\overline{A \cup B})$ es el complementario de la unión, no la unión de los complementarios. Confundirlo cambia todos los números que vienen después.

En b), escribe la definición completa con la intersección y razona que $A \cap B$ está dentro de $A \cup B$ ; poner directamente el cociente sin explicarlo puede costar parte del planteamiento.