Rectas y planos

Recta $r$. Pasa por $A(1, 2, -5)$ con director$$\vec{v}_r = \overrightarrow{AB} = (2 - 1,\ 4 - 2,\ -11 + 5) = (1,\ 2,\ -6)$$Recta $s$. Los planos tienen normales $\vec{n}_1 = (1, -2, 3)$ y $\vec{n}_2 = (1, -1, 0)$. El director de $s$ es perpendicular a las dos:$$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 3)\,\vec{i} - (0 - 3)\,\vec{j} + (-1 + 2)\,\vec{k} = (3,\ 3,\ 1)$$Un punto de $s$: con $x = 0$, la segunda ecuación da $y = 0$ y la primera $3z = 3$, es decir, $z = 1$. Así $P_s(0, 0, 1) \in s$.

a) Los directores $(1, 2, -6)$ y $(3, 3, 1)$ no son proporcionales ($\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$), luego las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Tomamos el vector que une un punto de cada recta:$$\overrightarrow{AP_s} = (0 - 1,\ 0 - 2,\ 1 + 5) = (-1,\ -2,\ 6)$$y estudiamos el rango de los tres vectores:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -6 \\ 3 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 6 \end{vmatrix} = 0$$porque la tercera fila es la primera cambiada de signo. El rango es $2$ (las dos primeras filas son independientes), así que los tres vectores son coplanarios y las rectas, que no son paralelas, se cortan.

De hecho, $\overrightarrow{AP_s} = -\vec{v}_r$ dice que $P_s$ está en $r$: con $\lambda = -1$, $A - \vec{v}_r = (0, 0, 1)$. El punto de corte es $P_s(0, 0, 1)$, que cumple las ecuaciones de los dos planos ($0 - 0 + 3 = 3$ ✓, $0 - 0 = 0$ ✓).

b1) La recta $t$ pasa por $C(1, 0, 0)$ con director $\vec{v}_s = (3, 3, 1)$. $C$ no está en $s$ (en el primer plano, $1 - 0 + 0 = 1 \neq 3$), así que $s$ y $t$ son paralelas distintas y su distancia es la de $C$ a la recta $s$:$$d(s, t) = d(C, s) = \frac{\left|\overrightarrow{P_sC} \times \vec{v}_s\right|}{|\vec{v}_s|}$$Con $\overrightarrow{P_sC} = (1, 0, -1)$:$$\overrightarrow{P_sC} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (0 + 3)\,\vec{i} - (1 + 3)\,\vec{j} + (3 - 0)\,\vec{k} = (3,\ -4,\ 3)$$$$\left|(3, -4, 3)\right| = \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34}, \qquad |\vec{v}_s| = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$$$$d(s, t) = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{34}{19}} = \frac{\sqrt{646}}{19} \approx 1{,}338 \ \text{u}$$Comprobación por el pie de la perpendicular. El punto de $s$ más cercano a $C$ es $Q = P_s + \mu\,\vec{v}_s$ con $\overrightarrow{CQ} \cdot \vec{v}_s = 0$: $\overrightarrow{CQ} = (3\mu - 1,\ 3\mu,\ \mu + 1)$ y $3(3\mu - 1) + 9\mu + \mu + 1 = 19\mu - 2 = 0$, o sea $\mu = \frac{2}{19}$. Entonces $\overrightarrow{CQ} = \left(-\frac{13}{19}, \frac{6}{19}, \frac{21}{19}\right)$ y $|\overrightarrow{CQ}|^2 = \frac{169 + 36 + 441}{361} = \frac{646}{361}$, que da el mismo $\frac{\sqrt{646}}{19}$ ✓.

b2) El ángulo $\alpha$ entre dos rectas es el agudo que forman sus directores:$$\cos\alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r|\,|\vec{v}_s|} = \frac{|3 + 6 - 6|}{\sqrt{1 + 4 + 36}\,\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{41}\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{779}} = \frac{3\sqrt{779}}{779} \approx 0{,}107$$(El ángulo es de unos $83{,}8^\circ$: las rectas se cortan casi perpendicularmente.)