Rectas y planos

Datos. De la ecuación continua, $r$ pasa por $P(2, 0, 0)$ (¡el mismo punto del apartado a!) con director $\vec{v}_r = (1, 1, 4)$. El normal del plano es $\vec{n}_\pi = (2, 2, -1)$.

a) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$:$$s \equiv (x, y, z) = (2, 0, 0) + t\,(2, 2, -1) = (2 + 2t,\ 2t,\ -t).$$Corte con $\pi$:$$2(2 + 2t) + 2(2t) - (-t) = 13 \;\Longrightarrow\; 4 + 9t = 13 \;\Longrightarrow\; t = 1,$$así que el pie de la perpendicular es $M(4, 2, -1)$. Como $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $Q$:$$M = \frac{P + Q}{2} \;\Longrightarrow\; Q = 2M - P = (8 - 2,\ 4 - 0,\ -2 - 0) = (6, 4, -2).$$Comprobación. $\overrightarrow{PQ} = (4, 4, -2) = 2\,\vec{n}_\pi$, perpendicular al plano ✓. Y $P$ y $Q$ están a igual distancia y en lados opuestos: $2\cdot 2 + 0 - 0 - 13 = -9$ y $2\cdot 6 + 2\cdot 4 + 2 - 13 = 9$ ✓.

b1) Posición relativa: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 2 + 2 - 4 = 0$, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él. El punto $P(2, 0, 0)$ de $r$ da $2\cdot 2 + 0 - 0 = 4 \neq 13$: no está en $\pi$. Por tanto $r$ es paralela a $\pi$, y todos sus puntos están a la misma distancia del plano:$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 2 + 2\cdot 0 - 0 - 13|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{9}{3} = 3.$$(Coincide con la longitud $|\overrightarrow{PM}| = |(2, 2, -1)| = 3$ del apartado a.)

b2) El plano $\sigma$ pasa por $P(2, 0, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_r = (1, 1, 4)$ y $\vec{n}_\pi = (2, 2, -1)$, que no son proporcionales. Su ecuación es$$\begin{vmatrix} x - 2 & y & z \\ 1 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0.$$Desarrollando por la primera fila:$$(x - 2)(-1 - 8) - y(-1 - 8) + z(2 - 2) = -9(x - 2) + 9y = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv x - y - 2 = 0.$$Comprobaciones. $P(2,0,0)$: $2 - 0 - 2 = 0$ ✓; otro punto de $r$, $(3, 1, 4)$: $3 - 1 - 2 = 0$ ✓, luego $r \subset \sigma$. Perpendicularidad: $\vec{n}_\sigma \cdot \vec{n}_\pi = (1, -1, 0)\cdot(2, 2, -1) = 0$ ✓.