Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1

Enunciado

(2 puntos) La NFL es la principal liga profesional de fútbol americano de los Estados Unidos. En un partido de la NFL se pueden anotar puntos de diversas formas, siendo las más comunes las siguientes: touchdown, field goal y extra point al que solo se puede optar después de anotar un touchdown. Según la normativa de la liga, un touchdown vale

6

puntos, un field goal

3

puntos y un extra point

1

punto.

De uno de los dos equipos de un partido finalizado de la NFL se sabe que solo ha conseguido puntos mediante touchdown, field goal y extra point. Además se sabe que:

Ha anotado $63$ puntos.
El doble de field goals anotados coincidió con el número de touchdowns conseguidos.
La suma del número de touchdowns y field goals anotados fue cuatro veces el número de extra points conseguidos.

Halle el número de touchdowns, field goals y extra points anotados por el equipo.

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Resultado

\boxed{\;8 \text{ touchdowns}, \quad 4 \text{ field goals}, \quad 3 \text{ extra points}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de traducir el enunciado a ecuaciones. Primero se nombran las tres incógnitas (cuántas veces anotó de cada forma) y luego cada frase con datos se convierte en una ecuación: la de los puntos totales, la del «doble de field goals» y la del «cuatro veces». Sale un sistema lineal

3\times 3

que, por la forma de la segunda ecuación, se resuelve muy rápido por sustitución (o por Gauss).

Al final hay que comprobar dos cosas: que los números cumplen las tres condiciones y que tienen sentido en el contexto (son naturales y no hay más extra points que touchdowns, porque cada extra point exige un touchdown previo).

Desarrollo

Incógnitas.

$x$ : número de touchdowns.
$y$ : número de field goals.
$z$ : número de extra points.

Planteamiento. Cada frase del enunciado da una ecuación:

Puntos totales: $6x + 3y + z = 63$ .
«El doble de field goals coincidió con el número de touchdowns»: $2y = x$ .
«La suma de touchdowns y field goals fue cuatro veces el número de extra points»: $x + y = 4z$ .

Ordenado, el sistema es

\left\{\begin{array}{l} 6x + 3y + z = 63 \\ x - 2y = 0 \\ x + y - 4z = 0 \end{array}\right.

Su matriz de coeficientes tiene determinante

\begin{vmatrix} 6 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 6(8 - 0) - 3(-4 - 0) + 1(1 + 2) = 48 + 12 + 3 = 63 \neq 0,

así que el sistema es compatible determinado: hay una única solución.

Resolución. De la segunda ecuación,

x = 2y

. Sustituyendo en la tercera:

2y + y = 4z \;\Longrightarrow\; z = \frac{3y}{4}

Y en la primera:

6(2y) + 3y + \frac{3y}{4} = 63 \;\Longrightarrow\; 15y + \frac{3y}{4} = 63 \;\Longrightarrow\; \frac{63y}{4} = 63 \;\Longrightarrow\; y = 4

Por tanto

x = 2\cdot 4 = 8

z = \dfrac{3\cdot 4}{4} = 3

.

Comprobación.

Puntos: $6\cdot 8 + 3\cdot 4 + 3 = 48 + 12 + 3 = 63$ ✓.
$2\cdot 4 = 8$ ✓.
$8 + 4 = 12 = 4\cdot 3$ ✓.

Además la solución tiene sentido: son números naturales y hay

3

extra points para

8

touchdowns, así que cada extra point tuvo su touchdown previo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo que más se equivoca es el sentido de las frases comparativas: «el doble de field goals coincidió con los touchdowns» es $2y = x$ , no $y = 2x$ . Si dudas, prueba con números sencillos (4 field goals, ¿cuántos touchdowns?) antes de escribir la ecuación.

La corrección puntúa por separado nombrar las incógnitas y cada ecuación bien planteada. Termina comprobando las tres condiciones y que la solución tiene sentido en el contexto.