En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: - El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80\% en tiros de uno, del 50\% en tiros de dos y del 40\% en tiros de tres. - La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. - El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio

Enunciado

En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:

El equipo anotó $80$ puntos con un acierto del $80\%$ en tiros de uno, del $50\%$ en tiros de dos y del $40\%$ en tiros de tres.
La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.
El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

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Resultado

\boxed{\;x = 25 \text{ tiros de uno},\quad y = 30 \text{ tiros de dos},\quad z = 25 \text{ tiros de tres}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas son los lanzamientos (intentos), no las canastas. Ese es el matiz de la primera condición: de los

x

tiros de uno solo entra el

80\%

, y cada uno que entra vale un punto; de los

y

tiros de dos entra la mitad, y cada uno vale dos; y así con los de tres. Sumando los puntos de las canastas que entran sale la primera ecuación.

Las otras dos condiciones son frases de "traducir al álgebra": "el resto de lanzamientos" es, en cada caso, la suma de los otros dos tipos. Con las tres ecuaciones lineales, quitamos decimales y denominadores y resolvemos por Gauss. Al final, comprobamos que la solución son números naturales (son lanzamientos) y que cumple las tres frases.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= lanzamientos de un punto,

y

= lanzamientos de dos puntos,

z

= lanzamientos de tres puntos.

Primera condición (puntos). Entran

0{,}8x

tiros de uno,

0{,}5y

de dos y

0{,}4z

de tres, así que los puntos anotados son

1\cdot 0{,}8x + 2\cdot 0{,}5y + 3\cdot 0{,}4z = 80 \;\Longrightarrow\; 0{,}8x + y + 1{,}2z = 80

Multiplicando por

5

para quitar decimales:

4x + 5y + 6z = 400

.

Segunda condición. El resto de lanzamientos, frente a los de dos, son

x + z

\frac{y}{3} = \frac{x+z}{5} \;\Longrightarrow\; 5y = 3x + 3z \;\Longrightarrow\; 3x - 5y + 3z = 0

Tercera condición. Frente a los de tres, el resto son

x + y

, y el doble de

z

es cinco menos que eso:

2z = (x + y) - 5 \;\Longrightarrow\; x + y - 2z = 5

Sistema.

\left\{\begin{array}{l} 4x + 5y + 6z = 400 \\ 3x - 5y + 3z = 0 \\ x + y - 2z = 5 \end{array}\right.

Resolución por Gauss. Ponemos la tercera ecuación arriba (tiene coeficiente

1

x

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 5 \\ 4 & 5 & 6 & 400 \\ 3 & -5 & 3 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow[F_3 - 3F_1]{F_2 - 4F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 14 & 380 \\ 0 & -8 & 9 & -15 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 + 8F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 14 & 380 \\ 0 & 0 & 121 & 3025 \end{array}\right)

El sistema es compatible determinado (tres pivotes). Subiendo:

121z = 3025 \;\Longrightarrow\; z = 25

y + 14\cdot 25 = 380 \;\Longrightarrow\; y = 30

x + 30 - 50 = 5 \;\Longrightarrow\; x = 25

Comprobación.

Puntos: canastas de uno $0{,}8\cdot 25 = 20$ , de dos $0{,}5\cdot 30 = 15$ (que dan $30$ puntos), de tres $0{,}4\cdot 25 = 10$ (que dan $30$ puntos). Total: $20 + 30 + 30 = 80$ ✓.
$\dfrac{30}{3} = 10$ y $\dfrac{25 + 25}{5} = 10$ ✓.
$2\cdot 25 = 50$ y $(25 + 30) - 5 = 50$ ✓.

Además, el número de canastas que entran en cada tipo (

20

15

10

) es entero, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más caro es confundir lanzamientos con canastas: si planteas $x + 2y + 3z = 80$ te olvidas de los porcentajes de acierto y la primera ecuación (0,5 puntos) ya está mal.

Cuidado también con "el resto de lanzamientos": en cada frase el resto son los otros dos tipos, no el total. Y comprueba al final que salen números naturales: un resultado con decimales en un problema de lanzamientos es la señal de que algo se ha planteado mal.