Sistemas de ecuaciones

Planteamiento. Pasando el vector constante a la derecha, el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} kx + y + z = 0 \\ (k+1)x + y - kz = k \\ x + (k+1)y = 2k \end{array}\right. \qquad M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k+1 & 1 & -k \\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix}$$a) Desarrollamos $|M|$ por la primera fila:$$|M| = k\bigl(1\cdot 0 - (-k)(k+1)\bigr) - 1\bigl((k+1)\cdot 0 - (-k)\cdot 1\bigr) + 1\bigl((k+1)^2 - 1\bigr)$$$$|M| = k^2(k+1) - k + (k^2 + 2k) = k^3 + 2k^2 + k = k(k+1)^2$$Se anula para $k = 0$ y para $k = -1$.

Caso $k \neq 0$ y $k \neq -1$. $|M| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(M) = 3$. La ampliada tiene solo tres filas, así que también $\operatorname{rg}(M \mid b) = 3$, que coincide con el número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $k = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 0 \\ x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{array}\right.$$Es homogéneo ($b = 0$), así que siempre es compatible y $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M \mid b)$. Las dos últimas filas son iguales y el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas $x$ e $y$) da rango 2. Como $2 < 3$ incógnitas: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $k = -1$. Sustituyendo:$$M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$$$|M| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 2 y 3, columnas $x$ e $y$), así que $\operatorname{rg}(M) = 2$. En la ampliada orlamos ese menor con la fila 1 y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -1\bigl(1\cdot(-2) - (-1)\cdot 0\bigr) - 1\bigl(0\cdot(-2) - (-1)\cdot 1\bigr) + 0 = 2 - 1 = 1 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(M \mid b) = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}(M)$: sistema incompatible.

Se ve también a ojo: en $M$ la fila 1 es la fila 2 menos la fila 3, pero con los términos independientes $(-1) - (-2) = 1 \neq 0$. Las ecuaciones dicen a la vez $-x + y + z = 0$ y $-x + y + z = 1$.

b) Para $k = 0$ el sistema equivale a las dos ecuaciones independientes$$y + z = 0, \qquad x + y = 0$$Tomando $x = t$ como parámetro: $y = -x = -t$ y $z = -y = t$. Las soluciones son$$(x,\ y,\ z) = (t,\ -t,\ t), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Con $k = 0$ y $(t, -t, t)$: primera ecuación, $-t + t = 0$; segunda, $t - t - 0 = 0$; tercera, $t - t = 0$. Todas se cumplen para cualquier $t$. Geométricamente son tres planos que pasan por el origen y se cortan en la recta de dirección $(1, -1, 1)$.