Integrales

Límites de integración. El dominio de $f$ es $(0, +\infty)$. Corte con el eje de abscisas:$$\ln x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 1.$$Para $1 < x < e$ se tiene $\ln x > 0$, así que la curva va por encima del eje. A la izquierda de $x = 1$ la curva baja hacia $-\infty$ cuando $x \to 0^+$, de modo que por ese lado la región no queda cerrada: la región acotada es la comprendida entre $x = 1$ (corte con el eje) y $x = e$ (la recta), y su área es$$\text{Área} = \int_1^e \ln x\, dx.$$Primitiva por partes. Con $u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $dv = dx \Rightarrow v = x$:$$\int \ln x\, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C.$$Regla de Barrow.$$\int_1^e \ln x\, dx = \Bigl[x\ln x - x\Bigr]_1^e = (e\ln e - e) - (1\cdot\ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1.$$Comprobación. Derivando la primitiva: $(x\ln x - x)' = \ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$ ✓. Además, el área es razonable: la región cabe en el rectángulo $[1, e]\times[0, 1]$, de área $e - 1 \approx 1{,}72$, y es algo más de la mitad de él, porque la curva es cóncava y queda por encima de la cuerda que une $(1, 0)$ y $(e, 1)$, que encierra un triángulo de área $\dfrac{e - 1}{2} \approx 0{,}86$. ✓