Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2026 · Junio

Enunciado

Dada la matriz real

A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda - 2 & \lambda \\ 0 & 1 & \lambda - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},

se pide:

a) (1 punto) Discutir el rango de

A

en función del parámetro

\lambda

.

b) (1 punto) Para el caso

\lambda = 2

, resolver la ecuación matricial

A^2 - AX = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lambda \neq 1, 3:\ \operatorname{rg}(A) = 3; \qquad \lambda = 1 \text{ o } \lambda = 3:\ \operatorname{rg}(A) = 2}

\boxed{\text{b)}\ X = A - A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la matriz es cuadrada de orden 3, así que el rango es 3 justo cuando el determinante no se anula. Calculamos

|A|

como polinomio en

\lambda

, buscamos sus raíces y, para esos valores, miramos si queda algún menor de orden 2 distinto de cero. Truco: si encontramos un menor de orden 2 que no dependa de $\lambda$ y no sea nulo, ya sabemos que el rango nunca baja de 2.

En b) lo primero es despejar

X

sin dividir matrices: pasamos

AX

a un lado, multiplicamos por

A^{-1}

por la izquierda (porque

A

está a la izquierda de

X

) y simplificamos. Para eso necesitamos que

A

sea invertible con

\lambda = 2

, cosa que nos dice el apartado a).

Desarrollo

a) Desarrollamos el determinante por la primera columna (tiene un cero):

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \lambda - 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} \lambda - 2 & \lambda \\ 1 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 1 + \bigl[(\lambda-2)(\lambda-1) - \lambda\bigr]

|A| = 1 + \lambda^2 - 3\lambda + 2 - \lambda = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)

Se anula para

\lambda = 1

\lambda = 3

.

Por otro lado, el menor formado por las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 2 no depende de

\lambda

\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0,

así que, para cualquier

\lambda

\operatorname{rg}(A) \geq 2

. Con esto:

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 3$ : $|A| \neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A) = 3$ .
Si $\lambda = 1$ o $\lambda = 3$ : $|A| = 0$ , luego $\operatorname{rg}(A) < 3$ , y como hay un menor de orden 2 no nulo, $\operatorname{rg}(A) = 2$ .

Comprobación con $\lambda = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

; la primera y la tercera columna son iguales, así que el rango no puede ser 3. ✓

b) Con

\lambda = 2

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = (2-1)(2-3) = -1 \neq 0,

luego

A

es invertible. Despejamos:

A^2 - AX = I \;\Longrightarrow\; AX = A^2 - I \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\left(A^2 - I\right) = A^{-1}A^2 - A^{-1} = A - A^{-1}

Inversa.

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\operatorname{Adj}(A)^{t}

. Los adjuntos de

A

son:

A_{11} = 1,\; A_{12} = 1,\; A_{13} = -1,\quad A_{21} = 0,\; A_{22} = -1,\; A_{23} = 0,\quad A_{31} = -2,\; A_{32} = -1,\; A_{33} = 1

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Comprobamos:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} -1+2 & 0 & 2-2 \\ -1+1 & 1 & 1-1 \\ -1+1 & 0 & 2-1 \end{pmatrix} = I

. ✓

Solución.

X = A - A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Comprobación en la ecuación. Por un lado,

A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A^2 - I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix},

y por otro,

AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Coinciden, así que

A^2 - AX = I

. ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la discusión del rango no basta con decir «si $|A| = 0$ , el rango es 2»: hay que enseñar un menor de orden 2 no nulo. Si eliges uno que no depende de $\lambda$ , te sirve para todos los casos de una vez.

En b), $A^{-1}$ va a la izquierda porque $A$ multiplica a $X$ por la izquierda. Escribir $X = (A^2 - I)A^{-1}$ da otra matriz y es un error que se penaliza aunque las cuentas estén bien.